线性代数如何证明 rank(AB)

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解决时间 2021-01-02 02:04

提问者网友：骨子里的高雅
2021-01-01 23:16

线性代数如何证明 rank(AB)

最佳答案

五星知识达人网友：独钓一江月
2021-01-02 00:51

设A是m*n的矩阵,B是n*s的矩阵,将矩阵A按行分块,A=(a1,a2……am)T,T表示转置
那么AB=(a1B,a2B……amB)T,
设A的秩为r
不妨设A的行向量的极大无关组为a1,a2……ar（也就是r个向量组成A的行向量的极大无关组）,那么A的任何一个行向量都可以用A的行向量的极大无关组表示,
于是(a1B,a2B……amB)T中任何一个向量都可以用a1B,a2B……arB来表示,
故AB=(a1B,a2B……amB)的极大无关组必定在a1B,a2]B……ar中,也就是说AB的极大无关组中的向量不超过r个,即rank(AB)

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1楼网友：拾荒鲤
2021-01-02 02:12

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