高中数学对数函数

高中数学对数函数

高一数学对数函数内容归纳【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a Naa???且，则x叫做以a为底N的对数，记作logax N?，其中a叫做底数， N叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xax NaNaaN??????． （2）几个重要的对数恒等式: log10a?，log1aa?，logbaab?． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN ，即loge N （其中 2.71828 e?…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aaM N????，那么 ①加法：logloglog()a aaMNMN?? ②减法：logloglogaaa MMNN ?? ③数乘：loglog()na anMMnR?? ④ logaN a N? ⑤loglog(0,)bn aan MMbnRb ? ?? ⑥换底公式：loglog(0,1)logbabN Nbba ? ??且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数名称 对数函数 定义 函数 log(0ayxa??且1)a?叫做对数函数 图象 1a? 01a?? 定义域 (0,)?? 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x ?时，0y?． 奇偶性 非奇非偶 x y O (1,0) 1 x?logayx ?x y O(1,0) 1 x?logayx ? 名人堂：众名人带你感受他们的驱动人生马云任志强李嘉诚柳传志史玉柱单调性 在(0,)??上是增函数 在(0,)??上是减函数 函数值的 变化情况 log0(1) log0(1)log0(01) aaaxxxxxx??????? log0(1) log0(1)log0(01) aaaxxxxxx??????? a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴 在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴 在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴 在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴 (6)反函数的概念 设函数()yfx?的定义域为A，值域为C，从式子()yfx?中解出x，得式子()xy??．如果对于 y在C中的任何一个值，通过式子()xy??，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 ()xy??表示x是y的函数，函数()xy??叫做函数()yfx?的反函数，记作1()xfy??，习惯上改写成 1()yfx??． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx?中反解出1()xfy??； ③将1()x fy??改写成1()yfx??，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数()yfx?与反函数1()yfx??的图象关于直线yx?对称． ②函数 ()yfx?的定义域、值域分别是其反函数1()yfx??的值域、定义域． ③若(,)Pab在原函数()yfx?的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx??的图象上． ④一般地，函数 ()yfx?要有反函数则它必须为单调函数． 一、选择题： 1． 3 log9 log28的值是 （ ） A． 3 2 B．1 C． 2 3 D．2 2．已知x=2+1,则log4(x3－x－6)等于 （ ） A. 2 3 B. 45 C.0 D. 2 1 3．已知lg2=a，lg3=b，则 15 lg12 lg等于 （ ） A． b ab a???12 B． b ab a???12 C． b ab a???12 D． b ab a???12 4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则yx的值为 （ ） A．1 B．4 C．1或4 D．4或-1 5.函数y=)12(log2 1?x的定义域为 （ ） A．( 2 1 ，＋∞) B．［1，＋∞) C．(2 1 ，1] D．(－∞，1) 6.已知f(ex)=x，则f(5)等于 （ ） A．e5 B．5e C．ln5 D．log5e 7．若1()log(01),(2)1,()afxxaaffx?????且且则的图像是 （ ） A B C D 8．设集合BAxxBxxA??????则|},0log|{},01|{22 等于 （ ） A．}1|{?xx B．}0|{?xx C．}1|{??xx D．}11|{???xxx或 9．函数),1(,1 1 ln ??????xxxy的反函数为 （ ） A．),0(,11 ??????xeeyx x B．),0(,11 ??????xeeyx x C．)0,(,1 1 ??????xeeyx x D．)0,(,1 1 ??????xeeyx x 二、填空题： O x y O x y O x y O x y 10．计算：log2.56.25＋lg 100 1＋lne＋3 log122?= 11．函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________ ． 12．函数y=(log4 1x)2－log4 1x2＋5在2≤x≤4时的值域为______． 三、解答题： 13．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围． 14．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围． 15．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？ 一、选择题：ABBCBCDCBAAB13.2 13 ，14.y=1－2x(x∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16. 8425 ??y 17.解析：因为a是底，所以其必须满足 a>0 且a不等于1 a>0所以2-ax为减函数，要是Y=loga(2-ax)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1 又知减函数区间为[0,1]，a必须满足 2-a*0>0 2-a*1>0 即得a<2 综上所述，啊的取值范围是（1,2） 18、解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立． 当a2 －1≠0时，其充要条件是：?????????????0 )1(4)1(012 22aaa解得a＜－1或a＞35 又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意． 所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪( 3 5 ，＋∞) 19、解析：由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1， ∴ b a =10，a=10b．又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．即b=10，∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3当x=－2时，f(x)min=－3．