数学 三角函数

三角函数是什么，间单的讲一下，教会我。谢谢！越间单越好

简单来讲（画个图先~），角A角B角C的对边分别是a、b、c，三角函数就是这三边与角的关系用作比值的方式表达出来咯

正弦sinA=a/c（a边比c边的比值，下同）

余弦cosA=b/c

正切tanA=a/b

余切cotA=b/a

正割secA=c/b

余割cscA=c/a

不过既然是函数那当然是在平面直角坐标系里的，只是这些基本内容主要都是讲直角三角形的边角关系

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 　　基本初等内容 　　它有六种基本函数(初等基本表示)： 　　分别是 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 　　 角 θ的所有三角函数 　　(见:函数图形曲线) 　　在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 　　正弦函数 sinθ=y/r 　　余弦函数 cosθ=x/r 　　正切函数 tanθ=y/x 　　余切函数 cotθ=x/y 　　正割函数 secθ=r/x 　　余割函数 cscθ=r/y 　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。） 　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 　　正矢函数 versinθ =1-cosθ 　　余矢函数 coversθ =1-sinθ 　　正弦（sin）:角α的对边比上斜边 　　余弦（cos）:角α的邻边比上斜边 　　正切（tan）:角α的对边比上邻边 　　余切（cot）:角α的邻边比上对边 　　正割（sec）:角α的斜边比上邻边 　　余割（csc）:角α的斜边比上对边 [编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：　　·平方关系： 　　(sinx)^2+(cosx)^2=1 　　1＋(tanx)^2＝(secx)^2 　　1＋(cotx)^2＝(cscx)^2 　　·积的关系： 　　sinα=tanα×cosα 　　cosα=cotα×sinα 　　tanα=sinα×secα 　　cotα=cosα×cscα 　　secα=tanα×cscα 　　cscα=secα×cotα 　　·倒数关系： 　　tanα ·cotα＝1 　　sinα ·cscα＝1 　　cosα ·secα＝1 　　商的关系： 　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα 　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 　　直角三角形ABC中, 　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 　　余弦等于角A的邻边比斜边 　　正切等于对边比邻边, 　　对称性 　　180度-a的终边和a的终边关于y轴对称。 　　-a的终边和a的终边关于x轴对称。 　　180度+a的终边和a的终边关于原点对称。 　　180度/2-a的终边关于y=x对称。 　　三角函数恒等变形公式 　　 　　·两角和与差的三角函数： 　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ 　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ 　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) 　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 　　·三角和的三角函数： 　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ 　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ 　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 　　·辅助角公式： 　　Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))，其中 　　sint=B/√(A²+B²) 　　cost=A/√(A²+B²) 　　tant=B/A 　　Asinα-Bcosα=√(A²+B²)cos(α-t)，tant=A/B 　　·倍角公式： 　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) 　　cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α 　　tan(2α)=2tanα/(1-tan²α) 　　·三倍角公式： 　　sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) 　　cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) 　　tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan³α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) 　　·半角公式： 　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) 　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) 　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 　　·降幂公式 　　sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 　　cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 　　tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 　　·万能公式： 　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)] 　　cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)] 　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)] 　　·积化和差公式： 　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 　　·和差化积公式： 　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 　　·推导公式 　　tanα+cotα=2/sin2α 　　tanα-cotα=-2cot2α 　　1+cos2α=2cos²α 　　1-cos2α=2sin²α 　　1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]² 　　·其他： 　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 　　sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2 　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx 　　证明： 　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx 　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差） 　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边 　　等式得证 　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx 　　证明: 　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx) 　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) 　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边 　　等式得证 　　三倍角公式推导 　　sin3a 　　=sin(2a+a) 　　=sin2acosa+cos2asina 　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 　　=3sina-4sin³a 　　cos3a 　　=cos(2a+a) 　　=cos2acosa-sin2asina 　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa 　　=4cos³a-3cosa 　　sin3a=3sina-4sin³a 　　=4sina(3/4-sin²a) 　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 　　=4sina(sin²60°-sin²a) 　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2] 　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 　　cos3a=4cos³a-3cosa 　　=4cosa(cos²a-3/4) 　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 　　上述两式相比可得 　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) [编辑本段]三角函数的诱导公式　　公式一： 　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 　　 sin（2kπ＋α）＝sinα 　　cos（2kπ＋α）＝cosα 　　tan（2kπ＋α）＝tanα 　　cot（2kπ＋α）＝cotα 　　公式二： 　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π＋α）＝－sinα 　　cos（π＋α）＝－cosα 　　tan（π＋α）＝tanα 　　cot（π＋α）＝cotα 　　公式三： 　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 　　sin（－α）＝－sinα 　　cos（－α）＝cosα 　　tan（－α）＝－tanα 　　cot（－α）＝－cotα 　　公式四： 　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π－α）＝sinα 　　cos（π－α）＝－cosα 　　tan（π－α）＝－tanα 　　cot（π－α）＝－cotα 　　公式五： 　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（2π－α）＝－sinα 　　cos（2π－α）＝cosα 　　tan（2π－α）＝－tanα 　　cot（2π－α）＝－cotα 　　公式六： 　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π/2＋α）＝cosα 　　cos（π/2＋α）＝－sinα 　　tan（π/2＋α）＝－cotα 　　cot（π/2＋α）＝－tanα 　　sin（π/2－α）＝cosα 　　cos（π/2－α）＝sinα 　　tan（π/2－α）＝cotα 　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα 　　cos（3π/2＋α）＝sinα 　　tan（3π/2＋α）＝－cotα 　　cot（3π/2＋α）＝－tanα 　　sin（3π/2－α）＝－cosα 　　cos（3π/2－α）＝－sinα 　　tan（3π/2－α）＝cotα 　　cot（3π/2－α）＝tanα 　　(以上k∈Z) 　　补充：6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） 　　

f(β)→ 　　f(β)＝↘ 　　β↓	sinβ	cosβ	tanβ	cotβ	secβ	cscβ
360k+α	sinα	cosα	tanα	cotα	secα	cscα
90°-α	cosα	sinα	cotα	tanα	cscα	secα
90°+α	cosα	-sinα	-cotα	-tanα	-cscα	secα
180°-α	sinα	-cosα	-tanα	-cotα	-secα	cscα
180°+α	-sinα	-cosα	tanα	cotα	-secα	-cscα
270°-α	-cosα	-sinα	cotα	tanα	-cscα	-secα
270°+α	-cosα	sinα	-cotα	-tanα	cscα	-secα
360°-α	-sinα	cosα	-tanα	-cotα	secα	-cscα
﹣α	-sinα	cosα	-tanα	-cotα	secα	-cscα

　　定名法则 　　90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变” 　　定号法则 　　将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”在Kπ/ 　　2中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数被时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。） 　　比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~ [编辑本段]三角形与三角函数　　1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径) 　　2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC 　　3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a&sup2;=b&sup2;+c&sup2;-2bc cosA 　　4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2) 　　5、三角形中的恒等式： 　　对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 　　证明: 　　已知(A+B)=(π-C) 　　所以tan(A+B)=tan(π-C) 　　则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 　　整理可得 　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 　　类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ [编辑本段]部分高等内容　　·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： 　　sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) 　　cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 　　·三角函数作为微分方程的解： 　　对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明 　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 　　: 　　角度a 0° 30° 45° 60° 90° 180° 　　1.sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0 　　2.cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 　　3.tana 0 √3/3 1 √3 / 0 　　4.cota / √3 1 √3/3 0 / 　　（注：“√”为根号） [编辑本段]三角函数的计算　　幂级数 　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) 　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞) 　　它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数. 　　泰勒展开式(幂级数展开法): 　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+... 　　实用幂级数： 　　ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... 　　ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1) 　　sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) 　　cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) 　　arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1) 　　arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1) 　　arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) 　　sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞) 　　cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞) 　　arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1) 　　arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1) 　　在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 　　-------------------------------------------------------------------------------- 　　傅立叶级数(三角级数) 　　f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) 　　a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx 　　an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx 　　bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx 　　三角函数的数值符号 　　正弦　第一，二象限为正，　第三，四象限为负 　　余弦　第一，四象限为正　第二，三象限为负 　　正切　第一，三象限为正　第二，四象限为负 [编辑本段]三角函数定义域和值域　　sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕 　　tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R 　　cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R [编辑本段]初等三角函数导数　　y=sinx---y'=cosx 　　y=cosx---y'=-sinx 　　y=tanx---y'=1/cos&sup2;x =sec&sup2;x 　　y=cotx---y'= -1/sin&sup2;x = - csc&sup2;x 　　y=secx---y'=secxtanx 　　y=cscx---y'=-cscxcotx 　　y=arcsinx---y'=1/√(1-x&sup2;) 　　y=arccosx---y'= -1/√(1-x&sup2;) 　　y=arctanx---y'=1/(1+x&sup2;) 　　y=arccotx---y'= -1/(1+x&sup2;) [编辑本段]反三角函数　　三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。 　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x). 　　反三角函数主要是三个： 　　y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条； 　　y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条； 　　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条； 　　sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】 　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得 　　其他几个用类似方法可得。

三角函数 就是直角三角形中三边的比值关系

正弦sina 就是对边比斜边

余弦cosa 就是邻边比斜边

正切tana 就是对边比邻边

余切cota 就是邻边比对边

a代表某一个角度