将函数f（x）=e x 展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）
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解决时间 2021-01-02 12:34
- 提问者网友：缘字诀
- 2021-01-02 03:46
将函数f（x）=e x 展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）
最佳答案
- 五星知识达人网友：荒野風
- 2021-01-02 04:51
∵f（x）=e x ，
∴f′（x）=f″（x）=f n （x）=e x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=f n （0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|f n （x）|=|e x |≤e r （n=1，2）
所以函数e x 可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数e x 在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是 e x =1+x+
x 2
2! +
x 3
3! ++
x n
n! + ．
∴f′（x）=f″（x）=f n （x）=e x
∴f（0）=f′（0）=f″（0）=f n （0）=1
函数在区间-r≤x≤r上有|f n （x）|=|e x |≤e r （n=1，2）
所以函数e x 可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，
因为r＞0是任意的，
所以，函数e x 在区间（-∞，+∞）上可展成幂级数，
特别的它的马克劳林级数是 e x =1+x+
x 2
2! +
x 3
3! ++
x n
n! + ．
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- 1楼网友：西岸风
- 2021-01-02 05:53
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