数学中的数学归纳论怎么理解啊

数学中的数学归纳论怎么理解啊

数学归纳法就是这几步：1.证明命题对于第一项或前几项是成立的。2.假设n=k时，命题成立，然后利用这个假设作为条件，来证明n=k+1时命题成立。此时我们可以说对于任何n，命题都成立。

原理不难理解，如果证明了以上两步，由1知n=1（也可能要证明n=1,2时命题成立）时命题成立，再由2知n=2时命题成立，再由2，n=3时命题成立，以此类推，最终得出对于任何的n，命题都成立。

楼上讲的太复杂了，其实数学归纳法就是数学经验法则，即在个别数据下存在的情况可以推导到全部数据下也存在。

数学归纳法的原理

意大利数学家皮亚诺(Peano，1858—1932年)总结了自然数的有关性质，提出了自然数的序数理论．这就是通常所说的自然数的皮亚诺公理．其内容如下：

任何一个像下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系；数b是数a后面的一个“直接后继”数，并且满足下列公理：

1．1是一个自然数．

2．在自然数集合中，每个自然数a有一个确定的“直接后继”数a′(用符号“a′”来表示a的直接后继数)．

3．a′≠1(这就是说，1不是任何自然数的“直接后继”数)．

4．由a′=b′推出a=b(这就是说，每个自然数只能是另外的唯一自然数的“直接后继”数)．

5．设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：

(1)自然数1属于M，

(2)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后继”数a′也属于M，

则集合M包含一切自然数．

其中的第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据．

对于数学归纳法，教材中只介绍了具体的方法和步骤，而这个方法所依据的原理及其合理性并没有予以说明，下面对与此有关的一些知识作简单的介绍，仅供教师参考．

定理1 已知一个与自然数n有关的命题T，如果对于数1它是正确的，而且当假定它对于数n正确时，能证明它对于n的直接后继数n′也是正确的，那么这个命题对于所有自然数都是正确的．

证明：设M是使命题T正确的自然数的集合，于是：

(1)数1属于M，因为对于1，命题T是正确的．

(2)假定数n属于M，这就是说，对于数n命题是正确的．这时，对于n的直接后继数n′，命题T也能够证明是正确的，这就是说，n′也属于M．

因此，集合M具有上面归纳公理的性质(1)和(2)，从而集合M应该含有所有的自然数．这就是说，命题T对于任何自然数n都是正确的．

这样，就证明了教材中的数学归纳法原理的合理性．这种归纳法通常称为第一数学归纳法．此外数学归纳法还有第二种形式，也就是第二数学归纳法．下面对它作一简单介绍．

预备定理(最小数定理) 自然数的任何非空集合A必有一个最小数，即这个数小于集合A中所有其他的数．

证明：由于A不是空集，其中必含有一个自然数．我们在A中任取一个数m，因为从1到m共有m个自然数，所以在A中不大于m的数最多只有m个．显然在这有限个数中存在着最小的数，我们用l来代表它．那么，l就是A中最小的数．事实上，l对于A中不大于m的数来说，它是最小的；而A中其余的数都比m大，因而更比l大，所以l就是A中最小的数．

定理2(第二数学归纳法) 如果与自然数n有关的某个命题T对于数1是正确的，而且在假定它对于小于n的自然数都正确时(此处n＞1)，能证明它对于n也正确，那么这个命题对于所有自然数都是正确的．

证明：用反证法．如果命题T不是对于所有自然数都成立，那么使命题T不成立的自然数的集合M不是空集．根据预备定理中的最小数原理，M中必有一最小数l，因为l∈M，所以命题T对于l不成立．由于1能使命题成立，所以l≠1，即l＞1．但l是集合M的最小数，即命题T对于小于l的所有自然数都成立．因而根据本定理的题设，能证明命题T对于l也成立．这个矛盾说明命题T对于所有自然数都是成立的．

有些命题用第一数学归纳法证明不大方便，但可以用第二数学归纳法来证明．