从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2 ，4b 2 ]，则该椭圆

从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2 ，4b 2 ]，则该椭圆离心率e的取值范围是 ______．

设椭圆的标准方程为
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1，
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜
π
2 ）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b 2 ≤2ab≤4b 2 ，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b 2 ≤4a 2 ≤16b 2 ，
9（a 2 -c 2 ）≤4a 2 ≤16（a 2 -c 2 ），
5a 2 ≤9c 2 且12 a 2 ≥16 c 2 ，
∴



5
3 ≤
c
a ≤



3
2
即e∈[



5
3 ，



3
2 ]
故答案为：[



5
3 ，



3
2 ]

[√5/3 , √2/3]