在三角形ABC中，BC=6厘米，角B=30度，角C=45度，以A为圆心，当半径等于多少时，所做的圆A与直线BC相切？

在三角形ABC中，BC=6厘米，角B=30度，角C=45度，以A为圆心，当半径等于多少时，所做的圆A与直线BC相切？

解：做CD垂直于AB于D
设CD长为x
所以有直角三角形ADC和直角三角形BDC
又角A等于45度 角B等于30度
所以AD=x，BD=x根号3，BC=2x，AC=x根号2
又AB等于10
所以x+x根号3=10
x=10/（1+根号3）=5*（根号3-1）
所以BC=10（根号3-1）
AC=5*根号2*（根号3-1）

解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米 由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t （1）①过点P，作PD⊥BC于D， ∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米 ∴PD=

1

2

AB=3米，∴S=

1

2

•QC•PD=3.75平方米； ②过点Q，作QE⊥PC于点E， 易知Rt△QEC∽Rt△ABC， ∴

QE

QC

=

AB

AC

， 解得：QE=

3t

5

， ∴S=

1

2

•PC•QE=

1

2

•（10-2t）•

3t

5

=-

3

5

t2+3t（0＜t≤5） （2）当t=

10

3

秒（此时PC=QC），

25

9

秒（此时PQ=QC），或

80

21

秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形； ∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米， ∴AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10， 当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=

10

3

秒； 当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=

10-2t

2

，CQ=t，可证△CEQ∽△CBA，故

CE

BC

=

QC

AC

，即

10-2t 2

8

=

t

10

，解得t=

25

9

秒； 当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=

t

2

，PC=10-2t，可证△PCE∽△ACB，故

CE

BC

=

PC

AC

，即

t

16

=

10-2t

10

，解得t=

80

21

秒． （3）如图3，过点P作PF⊥BC于点F． 则△PCF∽△ACB ∴

PF

AB

=

PC

AC

=

FC

BC

，即

PF

6

=

10-2t

10

=

FC

8

∴PF=6-

6t

5

，FC=8-

8t

5

则在直角△PFQ中，PQ²=PF²+FQ²=（6-

6t

5

）²+（8-

8t

5

-t）²=

41

5

t²-56t+100 如图4，当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ²=

41

5

t²-56t+100=9t²， 整理得：t²+70t-125=0 解得：t₁=15

6

-35，t₂=-15

6

-35＜0（舍去） 故当⊙P与⊙Q外切时，t=（15

6

-35）秒； 当⊙P与⊙Q内切时，PQ=PA-QC=t，此时， ∵PQ²=PF²+FQ²， ∴PQ²=

41

5

t²-56t+100=t² 整理得：9t²-70t+125=0，解得：t₁=

25

9

，t₂=5 故当⊙P与⊙Q内切时，t=

25

9

秒或5秒．