P是质数，P2+2也是质数，则P4+1921=______．

∵p是质数．
∴如果p是2，那么P²+2=6不是质数．
∴p肯定为奇数．
∴p可以写成6k-3，6k-1和6k+1．
当p=6k-3的时候，p只可能为3，否则p不为奇数．
当p=3时，p²+2=11，为质数，成立；
当p≠3时，p只可能为6k-1或者6k+1．
p²+2=36k²+3-12k或p²+2=36k²+3+12k，
∴定能被3整除，
∴P²+2不为质数．
∴p只能为3，
∴P⁴+1921=2002．
故答案为：2002．

试题解析：

首先由P是质数，可分别从p为2或奇数去分析，又由P²+2也是质数，可得p肯定为奇数；然后可将p写成6k-3，6k-1和6k+1，再分别分析，即可得p只能为3，代入P⁴+1921即可求得答案．

名师点评：

本题考点： 质数与合数．
考点点评： 此题考查了质数性质的应用．此题难度较大，解题的关键是排除p为2，然后将p写成6k-3，6k-1和6k+1去分析，注意分类讨论思想的应用．