双曲线方程及性质的应用

已知双曲线3x²—y²+3，过P（2，1）点做一直线交双曲线于A ，B两点，若P为AB的中点，

(1)求直线AB的方程
（2）求弦AB的长

双曲线3x²-y²=3

化成标准方程
x²-y²/3=1
过P的直线y=k(x-2)+1
设A(x1,y2) B(x2,y2)
双曲线方程是
x²/2-y²/3=1
知
x1²-y1²/3=1...①
x2²-y2²/3=1...②
做差得
（x1+x2)(x1-x2)-(y2+y1)(y2-y1)/3=0
y2-y1=k(x2-x1)
∴(x1+x2)-k(y1+y2)/3=0
∵P是AB中点
∴x1+x2=4
y1+y2=2
∴4-2k/3=0
k=6
∴AB:y=6(x-2)+1=6x-11
方程是6x-y-11=0
(2)
y=6x-11与x²-y²/3=1联立
得

33x²-132x+124=0
根据韦达定理，x1+x2=4,
x1x2=124/33,
根据弦长公式，
|AB|=√[(1+6²)(x1-x2)²]=√37*[(x1+x2)²-4x1x2]
=√[37*（16-124*4/33）]
=√（37*32/33）
=4√2442/33。
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