函数求其单调性通常有几种方法？

函数求其单调性通常有几种方法？

首先,最常用的就是导数法,利用定义证明函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： （1）任取x1，x2∈D，且x1<x2； （2）作差f(x1)－f(x2)； （3）变形（通常是因式分解和配方）； （4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； （5）下结论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。 但是,如果复合函数的话 可以把函数化成几个单一的函数。 比如说y=4/(x+5) 我们可以看成是y=5/x 和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间，当然前边那个只是举例，事实上一般都比那个复杂。 确定完单一函数的单调区间后取交集,比如：第一个单一函数的单调区间是 （3，6）递增，[6，12）递减，（13，15）递增（假设这就是定义域） 第二个函数的单调区间是（3，12）单调递减，（13，15）递增 那么我们就要取他们的单调交集 因为第二个函数的递减区间是（3，12） 而第一个正好是（3，6）和[6,12) 那么就可以直接划分成（3，6），[6,12)，（13，15）三个集合 第一个集合是增减（即第一个函数是增，第2个函数是减） 依此类推，第二个集合是减减，第三个增增 有一个定理是复合函数的单调性是 增增得增 减减得增 增减得减 其实就是正负号相乘，正正得正，负负得正 关键在于找到单一函数和取对交集 最后,说明： 1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必 须先确定函数的定义域， 2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有 增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间 上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括 不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。 希望对你有帮助.

一、方法： 1、特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。 例1 定义在r上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈r)，当x<0时， f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( ) a　有最小值f (a)　 b　有最大值f[(a+b)/2]　 c　有最小值f (b)　 d　有最大值f (b) 分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)。 此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0) ∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。 2、赋值法，根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而解决问题。 例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法 解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈r)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①, 再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。 得 f (x)是一个奇函数，图像关于原点对称。 ∵当x <0时，f (x) >0， 即f (x)在r上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。 3、图像性质解法，抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。抽象函数解题时常要用到以下结论： 定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=(a+b)/2 对称。 定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，其周期应为∣b-a∣ 例4　 f(x)是定义在r上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在r上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。 由图可直观得t=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。 证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ t=2。 ∴f (x)是一个周期函数。 二、抽象函数的一般形式： 不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。