已知圆O:x²+y²=2,圆M:(x-1)²+(y-3)²=1,过圆M上任一点p作圆O的切线PA,设PA与圆M的另一

圆M的另一个交点为Q (1)当PQ最大时，求PA的长度 （2）过M作圆O的切线MR,MT,R,T为切点，求直线RT的方程

解：（1）PQ为圆M上的一条弦，其最大值即圆M的直径2。也即，当且仅当切线PA过圆M的圆心(1,3)时，PQ最大。此时，PA=√(OP^2-OA^2)=√[(1^2+3^2)-(√2)^2]=2√2
（2）设过点M(1，3)的直线方程为y=k(x-1)+3，代入圆O的方程得
x²+[k(x-1)+3]²=2
(k²+1)x²-2(k-3)kx+(k²-6k+7)=0 ①
判别式△=4k²(k-3)²-4(k²+1)(k²-6k+7)=4(k-1)(k+7)=0
得k=1或k=-7
将k=1代入①，解得x=-1
将x=-1代入圆O方程，得y=1（y=-1舍去）
也即直线RT过点(-1,1)
直线OM的斜率为k=3/1=3
RT⊥OM，则直线RT的斜率为k1=-1/k=-1/3
过直线RT的方程为
y-1=-1/3*[x-(-1)]
也即x+3y-2=0

当直线pa过圆m的圆心m（1，3）时，弦pq的长度最大为圆m的直径．设直线pa的斜率为k， 由点斜式求得直线pa的方程为 y-3=k（x-1），即 kx-y+3-k=0． 由直线pa和圆o相切得  2 = |0?0+3?k| k2+1 ，∴k=1或 k=-7， 故答案为：1或-7．