复变函数中留数的概念麻烦说的通俗易懂

复变函数中留数的概念麻烦说的通俗易懂

1. 全纯函数是一类特别好的函数，原因是它们永远是实解析函数，自然也就是任意阶可微分函数；同时它们有圆上的平均值性质；并且对积分路径固定始末点，小扰动中间部分不会改变积分值，也就是所谓的积分和路径无关。
2. 对一个全纯函数作围道积分，比如最简单的圆形围道；
3. 那么有两种情形；
4. 一个是围道里面的点都在函数的定义域内，这时候积分为0；
5. 如果里面只有一个点是奇异点，即这点周围函数无界，那么积分未必为0，我们将这看为把积分数值留下了，所以叫留数。

由于z趋于0时，lim1/zsinz=lim1/z^2，因此z=0为二级极点，根据留数的计算法则，res[1/(zsinz),0]=limd[(z^2)(1/zsinz)]/dz=limd(z/sinz)/dz=lim(sinz-zcosz)/(sinz)^2=0