2010年初二数学竞赛

2010年初二数学竞赛

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若 均为整数且满足 ，则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是两个正数，且 则 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根，则 的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中，已知 ，D，E分别是边AB，AC上的点，且 ， ， ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ， ，则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 13 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A，B两点，与 轴正方向交于点C．已知 ， ，则 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝ ，PC＝5，则PB＝___ ___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令 ，则 ，其中 均为自然数.
于是，等式①变为 ，即
②
由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ，Q .
（1）如果 都是整数，且 ，求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B，与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解 点P 、Q 在二次函数 的图象上，故 ， ，
解得 ， .
（1）由 知 解得 .
又 为整数，所以 ， ， .
(2) 设 是方程的两个整数根，且 .
由根与系数的关系可得 ， ，消去 ，得 ，
两边同时乘以9，得 ，分解因式，得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整数，所以后面三组解舍去，故 .
因此， ， ，二次函数的解析式为 .
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为 .

请问你从哪里得到的资料？

ls在发什么啊？
1，比较3x^3-2x^2-4x+1与3x^3+4x+10的值的大小。
2，已知方程（a^2+b^2）x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0中字母a,b,c都是实数，求证：c/b=b/a=x
这是三次，四次 化二次的题，
要细心哦！

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若 均为整数且满足 ，则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是两个正数，且 则 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根，则 的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中，已知 ，D，E分别是边AB，AC上的点，且 ， ， ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.

答案与提示
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D
提示：
1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是
前年比去年少
这个产值差占去年的 应选D．
2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的红墨水的数量是 ①
乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ②
∵①=②∴选C．
∴x－25=(10n+2+5)2
可知应当选C．
4．由所给出的数轴表示（如图3）：
可以看出
∴①＜②＜③，∴选C．
5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1•2•3•5
∵x，y是整数，
∴2x+3y，x+y也是整数．
由下面的表
可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．
二、填空题

提示：
1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．
2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy
及x*m=x(m≠0)
得a•0+bm-c•0•m=0，
∴bm=0．
∵m≠0，∴b=0．
∴等式改为x*y=ax-cxy．
∵1*2=3，2*3=4，
解得a=5，c=1．
∴题设的等式即x*y=5x-xy．
在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．
3．∵打开所有关闭着的20个房间，
∴最多要试开

4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式
6x2+mxy-4y2-x+17y-15
中划波浪线的三项应当这样分解：
3x -5
2x +3
现在要考虑y，只须先改写作
然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：
由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．
5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，
显然，这个和被3除时必得余数2．
另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成
3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方
(3b)2=9b2
(3b+1)2=9b2+6b+1，
(3b+2)2=9b2+12b+4
=(9b2+12b+3)+1
被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．
三、解答题
1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．
甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4•8)=480（公里），
因此，乙车行驶的路程一共是2(60•8+480)=1920（公里）．
2．由题设可得
即2S-5S3=8……②
∴x，y，z都＞1，
因此，当1＜x≤y≤z时，解
(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，
(3，3，6)，(3，4，4)四组．
由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．