设函数f(x)=x-1/x,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数M的取值范围是
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解决时间 2021-01-31 11:41
- 提问者网友：爱唱彩虹
- 2021-01-31 02:43
设函数f(x)=x-1/x,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数M的取值范围是
最佳答案
- 五星知识达人网友：神鬼未生
- 2021-01-31 03:09
mx-1/mx+m（x-1/x）<0
2mx-(m+1/m)/x<0
2mx²<(m+1/m)
若m>0
1/2(1+1/m²)>x²不可能对任意x∈[1,∞)无解
若m<0
1/2(1+1/m²)
2mx-(m+1/m)/x<0
2mx²<(m+1/m)
若m>0
1/2(1+1/m²)>x²不可能对任意x∈[1,∞)无解
若m<0
1/2(1+1/m²)
全部回答
- 1楼网友：英雄的欲望
- 2021-01-31 03:38
f(mx)+mf(x)=mx-1/mx +mx-m/x=2mx-(m+ 1/m)/x<0,
[2mx²- (m²+1)/m]/x<0对x∈[1,∞)恒成立,
就是二次函数g(x)=2mx²- (m²+1)/m在x∈[1,∞)上恒小于0,而图像对称轴在Y轴上.
若m>0,则g(x)开口向上,不满足.
若m<0,则g(x)开口向下,且顶点- (m²+1)/m>0,要求g(1)<0,
代入得2m- (m²+1)/m<0,所以2m²- m²-1>0,解得m<-1,
综合上面两种情况得m<-1
[2mx²- (m²+1)/m]/x<0对x∈[1,∞)恒成立,
就是二次函数g(x)=2mx²- (m²+1)/m在x∈[1,∞)上恒小于0,而图像对称轴在Y轴上.
若m>0,则g(x)开口向上,不满足.
若m<0,则g(x)开口向下,且顶点- (m²+1)/m>0,要求g(1)<0,
代入得2m- (m²+1)/m<0,所以2m²- m²-1>0,解得m<-1,
综合上面两种情况得m<-1
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