关于等腰梯形的一个题目

如图，在等腰梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC、BD相交于点O，角ADB=60°，E、F、G分别是OA、OB、CD的中点。判断△EFG的形状，并说明理由。

取ＯＣ中点Ｍ，连接ＦＭ、ＧＭ

取ＯＤ中点Ｎ，连接ＥＮ、ＧＮ

∵Ｆ、Ｍ是ＯＢ、ＯＣ中点

∴ＦＭ＝ＢＣ／２　　ＦＭ／／ＢＣ

∵G、Ｍ是CD、ＯＣ中点

∴GＭ＝OD／２　　ＧＭ／／ＯＤ

∵E、N是ＯA、ＯD中点

∴EN＝AD／２　　　ＥＮ／／ＡＤ

∵G、N是CD、ＯD中点

∴GN＝OC／２　　　ＧＮ／／ＯＣ

∵ABCD是等腰梯形，且角ＡＤＢ＝６０°

∴三角形ＡＤＯ、ＢＣＯ是等边三角形

∴ＡＤ＝ＯＤ　ＢＣ＝ＯＣ

∴ＦＭ＝ＧＮ　ＭＧ＝ＮＥ

∵MF//BC GM//OD

∴角ＦＭＧ＝１８０－角ＤＦＭ＝１８０－角ＯＢＣ＝１８０－６０＝１２０°

∵NE//AD GN//OC

∴角ENＧ＝１８０－角CEN＝１８０－角ＯAD＝１８０－６０＝１２０°

∴三角形ＦＭＧ与ＥＮＧ全等

∴ＦＧ＝ＥＧ

∴三角形ＥＦＧ是等腰三角形

设∠EFD=∠1,∠DFG=∠2,∠FEC=∠3,∠CEG=∠4,连接DE,CF

因为等腰梯形ABCD，ADB=60°，可得到三角形OBC,OAD都是等边三角形，以及一系列的边和角相等，这里就不证明了。

以为F是OB的中点，所以CF垂直OB，所以在直角三角形CDF中，G是斜边CD的中点，所以GF=GD,所以∠2=∠CDB=∠BAC,又因为∠1=∠ABD,所以∠1+∠2=∠BAC+∠ABD=60度。

同理∠3+∠4=60度，所以三角形EFG是等边三角形

连FC，ED ，因∠ADB=60°，三角形AOD及BOC均为等边三角形，而E、F、G分别是OA、OB、CD的中点。，故DE丄AC， FC丄BD，EF=1/2AB=DG，EG是直角三角形DEC斜边DC的中线 ，即EG=DG

又因FG是直角三角形DFC斜边DC的中线 ，即FG=DG ，故EF=EG=FG，故△EFG为等边三角形