设f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0，且存在q∈（0，1），使得|f′（x）|≤q|f（x）|．证明：f（x）≡0

设f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0，且存在q∈（0，1），使得|f′（x）|≤q|f（x）|．证明：f（x）≡0．

因为f（x）在[0，1]上连续，所以|f（x）|在[0，1]上连续，
由有界闭区间上连续函数的性质，存在c∈[0，1]，使得
|f（c）|=M=
max
0≤x≤1 |f(x)|．
由微分中值定理得
M=|f（c）|=|f（c）-f（0）|=|f′（ξ）|c，其中ξ介于0与c之间．
又由|f′（c）|≤q|f（x）|得
M=|f′（ξ）|c≤|f′（ξ）|≤q|f（ξ）|≤qM，
因为q∈（0，1）且M≥0，所以M=0，故f（x）≡0．

这个函数应该是定义在r上的。 只需证明： 如果f''(x)恒不等于0，则f(x)无界。 f'是连续可导函数。f''(x)恒不等于0，所以f'是单调函数。（否则，f'存在局部极值，而在局部极值点的导数 f''=0）. 不妨设f'订籂斥饺俪祭筹熄船陇为单增函数，（否则，考虑-f）. 存在 x0 使得 f'(x0) 不等于0， 1. 如果 f'(x0)=a>0, 则 对 x>x0, f'(x)>a, f(x)=f(x0)+f'(t)(x-x0)>f(0)+a(x-x0) -----> 无穷大，当x--->无穷大时。 2. 如果 f'(x0)=a<0, 则 对 x 无穷大，当x---> 负无穷大时。 即：如果f''(x)恒不等于0，则f(x)无界。 所以f(x)有界且二阶可导，则存在一点t使得f''(t)=0。