数学分析高手请帮我看一道中值定理的证明题.设f在[a,b]上三阶可导,求证存在一点ξ∈(a,b),满

数学分析高手请帮我看一道中值定理的证明题.设f在[a,b]上三阶可导,求证存在一点ξ∈(a,b),满

注意到常数部分相对f’’’(ξ)可以分离,令f’’’(ξ)=k,则f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³*k ①而①式是关于a,b的轮换对称式,即(a,b)→(b,a)式子不变．因此,考虑用常数k值法解决基本思想是：将常数部分令为k,将a换成x,构造辅助函数F(x),再用罗尔定理注：是否使用常数k值法一是看常数部分是否可以分离,二是看换成k后的表达式是否为关于端点的对称式或轮换对称式令F(x)= f(b)-f(x)-1/2*(b-x)*[f’(x)+f’(b)]+1/12*(b-x)³*k易见F(a)=F(b)=0对F(x)在[a,b]上应用罗尔定理,则至少存在一点η∈(a,b),使得F’(η)=0又F’(x)=-f’(x)+1/2*[f’(x)+f’(b)]-1/2*(b-x)*f’’(x)-1/4*(b-x)²*k∵F’(b)=0,∴F’(η)= F’(b)对F’(x)在[η,b]上应用罗尔定理,则至少存在一点ξ∈(η,b)属于 (a,b),使得F’’(ξ)=0∵F’’(x)=-f’’(x)+1/2* f’’(x) +1/2* f’’(x)-1/2*(b-x)*f’’’(x)+1/2*(b-x)*k =1/2*(b-x)*[k-f’’’(x)]∴F’’(ξ)=1/2*(b-ξ)*[k-f’’’(ξ)]=0∵b-ξ≠0,∴k=f’’’(ξ)即f(b)=f(a)+1/2*(b-a)*[f’(a)+f’(b)]-1/12*(b-a)³* f’’’(ξ)======以下答案可供参考======供参考答案1:第一步，f(x)在a点泰勒展开，然后取x=b，得出一个泰勒展开式f(b)=......第二步，f(x)在b点泰勒展开，然后取x=a，得出一个泰勒展开式f(a)=......第三步，把前两步得出的式子相减，整理出f(b)-f(a)PS，但是只有三阶导数连续的时候才能证明你的式子

就是这个解释