在平面直角坐标系xoy中，点B与A（-1，1）点关于原点O对称，P为动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?12．

在平面直角坐标系xoy中，点B与A（-1，1）点关于原点O对称，P为动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?

1

2

（I）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y），则
∵直线AP与BP的斜率之积等于?
1
2，
∴
y?1
x+1?
y+1
x?1＝?
1
2
化简得x²+2y²=3（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x²+2y²=3（x≠±1）；
（Ⅱ）设点P（a，b），则直线AP：y=
b?1
a+1x+
a+b
a+1
直线BP：y=
b+1
a?1x+
a+b
?a+1
直线AP、BP分别与直线x=3交于点M、N，
所以，点M（3，
4b+a?3
a+1），点N（3，
2b?a+3
a?1）
因为AN∥BM，所以
2b+a?3
a+1=
b?a+2
2a?2，所以a=
5
3
因为直线AP与BP的斜率之积等于?
1
2，
所以
b?1
a+1?
b+1
a?1＝?
1
2，所以b=-
1
3或者b=
1
3
所以，存在点P （
5
3，
1
3）或者（
5
3，-
1
3）