矩阵乘法可以用欧拉公式吗

矩阵乘法可以用欧拉公式吗

如果一定要利用Euler公式,可以借助以下观察:
行列式为1的2阶正交矩阵总能表示为[cos(θ),-sin(θ); sin(θ),cos(θ)],记为S(θ).
证明很容易,只用到正交矩阵各列构成一组标准正交基,以及行列式为1的条件,具体就不写了.
矩阵S(θ)的特征多项式为x²-2cos(θ)x+1 = 0,特征值为e^(iθ)与e^(-iθ),分别对应特征向量(1,-i)'与(1,i)'.
故对可逆矩阵T = [1,1;-i,i]有:T^(-1)·S(θ)T = [e^(iθ),0; 0,e^(-iθ)] (对任意θ均成立).
于是T^(-1)·S(θ)^n·T = [e^(iθ),0; 0,e^(-iθ)]^n = [e^(inθ),0; 0,e^(-inθ)] = T^(-1)·S(nθ)T.
由T可逆,得S(θ)^n = S(nθ),即所求证.
还有一种看法,定义矩阵指数函数exp(X) = ∑{0 ≤ k} X^k/k!.
可证明该级数对任意方阵收敛,并具有性质:
若X,Y都是n阶方阵并满足XY = YX,则exp(X)exp(Y) = exp(X+Y).
作为推论,有exp(X)^n = exp(nX).
考虑矩阵J = [0,-1,1,0],易验证J² = -E,故J^(2k) = (-1)^k·E,J^(2k+1) = (-1)^k·J.
于是可得exp(θJ) = ∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k)/(2k)!·E+∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)!·J
= (∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k)/(2k)!)·E+(∑{0 ≤ k} (-1)^k·θ^(2k+1)/(2k+1)!)·J
= cos(θ)E+sin(θ)J
= S(θ).
故S(θ)^n = exp(θJ)^n = exp(nθJ) = S(nθ),即所求证.
最后多说一点,其实复数a+bi可对应为二阶实矩阵[a,-b;b,a],可验证这个对应保持运算(代数同态).
而此时复数e^(iθ)所对应的矩阵恰为S(θ),e^(inθ) = (e^(iθ))^n对应矩阵S(nθ).
由该对应保持运算即得S(nθ) = S(θ)^n.