当年Johann Bernoulli 对最速降线问题的解答（详尽）

如题，最好进步简单介绍哈变分学

1．最快滑行曲线最速降线或最快滑行曲线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题．

    在所有连接M1及M2两点的曲线之中，求一曲线，使当质点

在重力影响之下，没有初速地沿此曲线从M1运动达到点M2所

需时间为最短．

    为了求这个问题的解，我们应该考虑所有可能的连接M1与

M2的曲线．如果任取一条确定的曲线l，它就给出了质点沿着它

滑下所需时间的确定的值T，时间T依赖于曲线l的选择，而在

所有的，连接M1与M2，的曲线之中要选出给出T的最小值的那一条曲线．

最速降线问题可以用另一形式给出． 经过点M1及M2作一垂

直平面，显然最快滑行曲线应该在这平面内，所以求最快滑行曲线时我们就只需要限于这个平面内的曲线里来寻找了．把点

M1取作坐标原点，轴Ox指向水平而轴0y垂直向下(见图1)．点

M1的坐标就是(0， 0]，把点M2的坐标叫做(X2,Y2)．任取一条

可由方程   y=f(x)   0≤x≤x2……(1)

给出的曲线，其中，是连续可微函数．因为曲线经过M1与M2，

函数f在区间[0，x2]的两端应满足条件

f（0）=0，  f(x2)=y2,   …….(2)

如果在曲线上取任意一点M(x，y)，则质点在曲线上的这个

位置上运动的速度v与这点y坐标具有物理学中熟知的关系式

1/2v²=gy  或v=√(2gy),

质点走过曲钱的弧长元素ds所需要的时间为

因此质点沿曲线从M1滑行到M2的整个时间为