一道数学证充要条件

先设函数f(x)=ax^2+2x+1，分三种情况讨论必要性

1、a<0,对称轴为x=-2/2a=-1/a>0,2^2-4a>0,开口向下，又因为f(0)=1>0,由图像可知当x<0时有且只有一个根

2、a=0.f(x)=2x+1,当f(x)=0时，x=-1/2

3、a>0.对称轴为x=-2/2a=-1/a<0,因为有根，所以2^2-4a>=0，又因为f(0)=1>0,由图像可知当且仅当2^2-4a=0，a=1时，f(x)=0有且只有一个负数根（其实是重根当做一个根）。

充分性只需代入验证即可，在这里就不赘述了，

综上所述，充要条件是a<=0或a=1.

充分性：当a=0时，为一次函数，有且只有一个负根x=-1/2.

当a=1时，x^2+2x+1=(x+1)^2=0,有且只有一个负根x=-1

当a＜0时，ax^2+2x+1=0的两根的积x1*x2=1/a＜0，两根符号相反，所以有且只有一个负根。

必要性：ax^2+2x+1=0,有且只有一个负根，有三种情况（1）方程只有一个根；（2）方程有两个相等的根；（3）方程有两个不等的根。分别讨论如下：

（1）方程只有一个负根，这时函数为一次函数，所以a=0。

（2）方程有两个相等的根，这是根的判别式=4-4a=0，a=0.

（3）方程有两个不等的根且只有一个负根，1/a＜0，a＜0

这个是我刚刚解答的一个一摸一样的题

你去参考一下把

http://wenwen.soso.com/z/q211643907.htm

嘿嘿