证明 x趋于1时， ln(2-2x+x^2)~[arcsin(1-x)]^2 本人水平较低，请写出详细过程谢谢！

证明 x趋于1时， ln(2-2x+x^2)~[arcsin(1-x)]^2 本人水平较低，请写出详细过程谢谢！

ln(2-2x+x^2)=ln(1+t^2), [arcsin(1-x)]^2 =[arcsint]^2 ，则x趋向于1化成t趋向于0设1-x=t. 因为
ln(1+t)~t, 故ln(1+t^2)~t^2；因为arcsint~t, 所以[arcsint]^2~t^2，因此ln(1+t^2)~[arcsint]^2，即ln(2-2x+x^2)~[arcsin(1-x)]^2

解析： 令α=2arctanx，β=arcsin[2x/（1+x²）]，其中0<α<π，0<β≤π/2 则arctanx=α/2，即tan(α/2)=x，且sinβ=2x/(1+x²) 所以：tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]=2x/(1-x²) 而cosβ=√(1-sin²β)=√{1-[2x/(1+x²)]²}=(x²-1)/(1+x²) tanβ=sinβ/cosβ=2x/(x²-1) 所以：tanα+tanβ=2x/(1-x²) + 2x/(x²-1)=0 则：tan[2arctanx+arcsin（2x/（1+x²））] =tan(α+β) =(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ) =0 （*） 因为0<α<π，0<β≤π/2，则0<α+β<3π/2 所以由（*）式可知：α+β=π 即2arctanx+arcsin（2x/（1+x^2））≡π （x≥1）