正交矩阵一定是实矩阵吗

正交矩阵一定是实矩阵吗

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
注意正交矩阵的定义 n阶‘实矩阵’ A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。） 若A为正交阵，则下列诸条件是等价的: 1) A 是正交矩阵 2) A×A′=E（E为单位矩阵） 3) A′是正交矩阵 4) A的各行是单位向量且两两正交 5) A的各列是单位向量且两两正交 6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
再来看一下欧式空间的定义 设V是‘实数域’R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
有以上足以看出 正交矩阵是实矩阵范畴中的矩阵

正交矩阵在定义的时候就已经规定它是一个实矩阵了。所以这无需证明。
不知你还记不记得，我们最开始学正交矩阵时是在欧氏空间这一节开始讲的，而欧氏空间一定是一个实线性空间，后面的讨论都是在实线性空间中展开的，确切的说是欧氏空间。在欧式空间中，正交变换在一组标准正交基下对应的矩阵是正交矩阵。两组标准正交基之间的过度矩阵也是正交矩阵。

根据正交矩阵的特征