在等腰△ABC中,顶角∠A=36°,探索sin18°的值.(不使用计算器)

在等腰△ABC中,顶角∠A=36°,探索sin18°的值.(不使用计算器)

过B做BD交AC于D，使得DBC=36
等腰△ABC中,顶角∠A=36°
所以：∠C=∠ABC=72
因为∠DBC=36=∠BAC，∠C=∠C
所以△ABC∽△BDC
BC/AC=CD/BC
因为∠BDC=72=∠C，
所以BD=BC，∠ABD=∠ABC-∠DBC=36=∠BAC
所以AD=BD
所以AD=BC
BC/AC=（AC-BC）/BC
解得BC=（√5-1）/2*AC
做AH⊥BC于H，则∠HAC=18，HC=BC/2=（√5-1）/4*AC
sin18=sinHAC=HC/AC=（√5-1）/4
补充：
5X²-15X-AX+3A=0
（x-3）（5x-A）=0
两根为x1=3，x2=A/5
因为sinA<1
sinA=A/5
sinB/B=sinA/A=1/5，
sinB=1，角B为直角，A=4

（√5-1）/4

1、在等腰△ABC中,顶角∠A=36°,探索sin18°的值.(不使用计算器)
解：作AE⊥BC，E为垂足
故：∠EAC=18°
作BD平分∠ABC，交AC于D
因为等腰△ABC中，AB=AC
故：不难求出∠DBC=∠ABD=∠BAC=36°，∠C=∠BDC=72°
故：△ABC∽△BCD，BD=AD=BC
故：BC/AC=CD/BC
故：BC/AC=（AC-BC）/BC
故：BC/AC=(√5-1)/2
故：sin∠EAC =sin18°=CE/AC=(√5-1)/4

2、已知在三角形ABC的三边a、b、c中，b=5，c=3，锐角A的正弦值是关于X的方程5X²-15X-aX+3a=0的一个根，请你探究A的取值范围
解：5X²-15X-aX+3a=0
故：5x(x-3)-a(x-3)=0
故：（x-3）(5x-a)=0
故：x1=3或x2=a/5
因为sinA≤1，故：sinA≠3
故：sinA= a/5
sinB/b=sinA/a=1/5，
sinB=1，角B为直角，a=4

flycounter的解答少了开始的一部分, 假设知道ABC三边的比值了. 这样不就失掉这道题的精髓了么XD
事实上ABC的腰底之比是可以直接求得的:
平分角C, 交AB于D
这样BCD也是一个36/72/72的等腰三角形.
根据相似原理AB/BC=BC/BD
而ADC的两个底角都是36度, 于是也等腰. 所以AD=DC=BC
而AD+DB=AB
解上3式可得(BD+BC)/BC=BC/BD
=>AB/BC=BC/BD=(1+根号5)/2 (计算可能有误, 请自行验算)

然后再平分角A解sin 18度.

补充题xinhj1988的解答是正确的, 但是过程不太详细, 我来稍微补充一下
求得SinA=A/5之后, 整理得A/SinA=5. 正弦定理有A/SinA=B/SinB=C/SinC.于是5=B/SinB=C/SinC.
因为B=5, 有SinB=1. 所以ABC是直角三角形. 直角为B.
通过勾股定理可得A=4. SinA=4/5, 代回方程验算正确.

36 72 72等腰三角形，AB/BC=(3+5^0.5)/(1+5^0.5)
取BC中点D 则有: ∠BAD=18°AD⊥BC
∴BD/AB=[0.5/(1+5^0.5)]/(3+5^0.5)
∴sin18°=(1+5^0.5)/(6+2*5^0.5)(我就不化简了....)

在等腰△ABC中,根据大边对大角，如果∠B等于∠A，则∠C小于36，所以不可能形成三角形，所以∠C等于∠A等于36.所以A边等于C边等于3.
∠B=180-36-36=108.cosB=(a2+c2-b2)/2ac=-7/18.
cos108=cos(90+18)=-sin18.所以sin18=-cos108=7/18