数学高考真题

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE垂直A1E (1)证明:平面A1DE垂直平面ACC1A1;(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.

证明：（1）连DE，A1D

因为DE垂直A1E，所以A1E^2+DE^2=A1D^2

A1D^2=A1A^2+AD^2，A1A^2+AE^2=A1E^2

代入可得AD^2=AE^2+DE^2

所以，DE垂直AC，又因为DE垂直A1E，所以DE垂直平面ACC1A1

所以平面A1DE垂直平面ACC1A1

（2）设点A在平面ACC1A1的投射点为O，AO长度为h

可得h*S(A1DE)=A1A*S(ADE)，即h*DE*A1E=A1A*AE*DE

所以h=3 √7/4*

所以直线AD和平面A1DE所成角的正弦值＝h/AD＝√21/8