在如图所示的几何ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=2DB，∠ACB=90°，M为AD的中点

在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=2DB，∠ACB=90°，M为AD的中点

（1）证明EM⊥AB

（2）求直线BM和平面ADE所成角的大小

：（1）证明：以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB=1，则 CE=CA=CB=2．
由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，

1

2

），∴

EM

=（1，1-

3

2

），

AB

=（-2，2，0），∴

EM

•

AB

=-2+2+0=0，∴

EM

⊥

AB

，∴EM⊥AB．
（2）由（1）知 

BM

=（1，-1，

1

2

  ），

AD

=（-2，2，1），

AE

=（-2，0，2），

DE

=（0，-2，1）．
设面ADE的法向量为  

n

=（x，y，z），则  

n • AE ＝ 0  n• DE  ＝0

，即 

−2x+2z ＝ 0 −2y+z ＝ 0

，
取 

n

=（2，1，2）设直线BM和平面ADE所成角为θ，则 sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞=|

BM • n

| BM |•|  n |

|=

4

9

．点评：本题考查两个向量垂直的条件，两个向量的夹角公式，体现了转化的数学思想，注意本题中sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞|．

我崇拜你

牛~