数学中集合是什么?

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定义

非正式的，一个集合就是将几个对象适当归类而作为一个整体。一般来说，集合为具有某种属性的事物的全体，或是一些确定对象的汇合。构成集合的事物或对象称作元素或成员。集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。

[编辑] 符号

集合通常表示为大写字母 A， B， C……。而元素通常表示为小写字母a,b,c……。元素a属于集合A,记作aA。假如元素a不属于A，则记作aA。

如果两个集合 A 和 B 它们各自所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 A = B。

[编辑] 集合的特点

• 无序性

在同一个集合里面的每一个元素的地位都是相同的，所以元素的排列是没有顺序的。

• 互异性

在同一个集合里面每一个元素只能出现一次，不能重复出现。

• 确定性

定制集合的标准是确定的而不是含糊的，如全国全体较高的男生，这里的较高没有标准是含糊的。

[编辑] 集合的表示

• 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

A = 大于零的前三个自然数

B = 红色、白色、蓝色和绿色

• 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

C = {1, 2, 3}

D = {红色，白色，蓝色，绿色}

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A = C 而 B = D，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 {2, 4}，{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的，同样因为它们有相同的元素。

• 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

[编辑] 集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素，而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用符号 表示。比如：在2004年，集合 A 是所有住在月球上的人，它没有元素，则 A = 。就像数字零，看上去微不足道，而在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。

如果集合含有有限个元素，那么这个集合可以称为有限集。

集合也可以有无穷多个元素。比如：自然数的集合是无穷大的。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。

[编辑] 子集

主条目：子集

如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。 若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。

B 的子集 A

举例：

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
  
• 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
  
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
  
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

空集是所有集合的子集，而所有集合都是其本身的子集：

• ⊆ A
  
• A ⊆ A

[编辑] 并集

主条目：并集

有多种方法通过现有集合来构造新的集合。

两个集合可以相"加"。A 和 B 的并集（聯集），写作 A ∪ B，是或属于 A 的、或属于 B 的所有元素组成的集合。

A 和 B 的并集

举例：

• {1, 2} ∪ {红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}
  
• {1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色}
  
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

并集的一些基本性质

• A ∪ B = B ∪ A
  
• A ⊆ A ∪ B
  
• A ∪ A = A
  
• A ∪ = A

[编辑] 交集

主条目：交集

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。A 和 B 的交集，写作 A ∩ B，是既属于 A 的、又属于 B 的所有元素组成的集合。

若 A ∩ B = ，则 A 和 B 称作不相交。

A 和 B 的交集

举例：

• {1, 2} ∩ {红色, 白色} =
  
• {1, 2, 绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色}
  
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

交集的一些基本性质

• A ∩ B = B ∩ A
  
• A ∩ B ⊆ A
  
• A ∩ A = A
  
• A ∩ =

[编辑] 补集

主条目：补集

两个集合也可以相"减"。A 在 B 中的相对补集，写作 B − A，是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样， U − A 称作 A 的绝对补集，或简称补集（餘集），写作 A′或C_UA。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

举例：

• {1, 2} − {红色, 白色} = {1, 2}
  
• {1, 2, 绿色} − {红色, 白色, 绿色} = {1, 2}
  
• {1, 2} − {1, 2} =
  
• 若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数

补集的基本性质：

• A ∪ A′ = U
  
• A ∩ A′ =
  
• (A′)′ = A
  
• A − B = A ∩ B′

[编辑] 對稱差

見對稱差。

[编辑] 集合的其它名稱

在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

• 族、系　通常指它的元素也是一些集合。

[编辑] 公理集合論

把集合看作“一堆東西”會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

[编辑] 類

在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算是并不都能进行的。

定义 类A如果满足条件“”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set(A)。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

集合一般是在高中一年级的基础数学章节。是高中数学函数的基础哦~~ 关于集合的概念： 点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念． 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明． 我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界． 总之，集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 例如，由方程 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}． 注：（1）有些集合亦可如下表示： 从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…} （2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例如，不等式 的解集可以表示为： 或 所有直角三角形的集合可以表示为： 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} 3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 注：何时用列举法？何时用描述法？ （1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。 （2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。 如：集合{1000以内的质数}