初三的数学T

已知X1，X2是关于X的方程（X－2）（X－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根.

若X1，X2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值。

(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)

即x²-(2+m)x+2m=p²-(2+m)p+2m

即x²-(2+m)x+(2+m)p-p²=0

∵x1、x2是某直角三角形的两直角边，其面积S=x1x2/2

根据韦达定理：

x1+x2=2+m＞0得：m＞-2

x1x2=(2+m)p-p²=-[p-(2+m)/2]²+(2+m)²/4

∴当p=(2+m)/2时，x1x2有最大值(2+m)²/4

∴当2p=m+2(m＞-2)时，Smax=(2+m)²/8

(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)展开，化简得(x-p)[x-(m-p+2)]=0 所以x=p或x=m-p+2 S=x1*x2/2 =p(m-p+2)/2 =-(p^2-mp+m^2/4)/2+(m^2/4+2)/2 =-(p-m/2)^2/2+(m^2/4+2)/2 ≤(m^2/4+2)/2 当且仅当m=2p时取等号 即m=2p时 直角三角形面积最大=(m^2/4+2)/2