急！！已知整值随机变量X的概率分布为:P(X=k)=1/2^k,k=1,2,求E(X)要详细步骤

急！！已知整值随机变量X的概率分布为:P(X=k)=1/2^k,k=1,2,求E(X)要详细步骤

∵P(X=k)=1/2^k,k=1,2,...
∴E(x)=1/2+2/4+3/8+4/16+....+n/2^n+...........
设Sn=1/2+2/4+3/8+4/16+....+n/2^n ①
∴1/2Sn=1/4+12/8+3/16+........+(n-1)/2^n+n/2^(n+1) ②
①-②"1/2Sn=1/2+1/4+1/8+........+1/2^n-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)=1-(n+2)/2^(n+1)
∴Sn=2-(n+2)/2^n
∴E(x)=lim(n--->+∞)Sn=2

1.先求出c值 由概率之和等于1 得到 c（1+1/2+1/6+......1/k!）=1 由泰勒公式展开式得到 e^x=1+x+1/2x^2+......+1/k!x^k 该式令x=1 因此1+1/2+1/6+......1/k!=e 带回第一个式子得到c=1/e 2.这时我们可以看出，x是服从参数纳姆达=1的泊松分布，其方差，期望都等于纳姆达=1 因此，e(x^2)=ex*ex+dx=1+1=2