国王赏赐阿凡提一条有7个环的金链，但是提出了一个条件：只允许阿凡提切开7个环中的一环，然后每天取走一环，不能多也不能少。如果阿凡提有办法做到，就可以得到金链，如果做不到，它不但得不到金链，还要受处罚。

国王赏赐阿凡提一条有7个环的金链，但是提出了一个条件：只允许阿凡提切开7个环中的一环，然后每天取走一环，不能多也不能少。如果阿凡提有办法做到，就可以得到金链，如果做不到，它不但得不到金链，还要受处罚。

切开第三环

这样，前两个环，第三个环，和最后4个环。分成了2，1，4三个部分。

第一天，拿走一个（拿完手里有一个）

第二天还一个，拿俩（拿完手里有俩）

第三天，拿一个（拿完手里有仨）

第四天，还仨，拿四个（拿完手里有四个）

第五天，拿一个（拿完手里有五个）

第六天，还一个，拿俩（拿完手里有六个）

第七天，拿一个，（拿完手里有七个）

下面是正确方法，有些图表看不见，我发给你 阿凡提的办法是：把金链的第3环断开，这条金链便分成如图的3节，它们分别是一个单环，一个二连环，一个四连环： 阿凡提第一天取走单环；第二天放回单环而换走那个二连环；第三天再取走单环；第四天把前三天取走的3个环放回而换走四连环；第五天再一次取走单环；第六天又用单环换走二连环；最后第七天取走剩下的那个单环。 阿凡提为什么知道这样做，他的窍门在哪里呢？ 让我们对此题进行分析，先进行横向扫描。如下图所示，如果不计对称性，一根7个环的金链切开一环，不外乎切开第一环，或第二环，或第三环，或第四环四种情况： 如果切开第一环，则将整条金链分成一个单环和一个6连环，阿凡提第二天就无法取走一环了。 如果切开第二环，则将整条金链分成2个单环和一个5连环，阿凡提头两天可分别取走一环，到第三天就无法取走一环了。 如果切开第四环，则将整条金链分成了一个单环和两个3连环，阿凡提在第二天就不能取走一环了。 根据以上分析，唯一可能达到目的的办法就只有切开第三环。经过检验，切开第三环确可以达到目的。这是一种穷举证法，通过横向扫描，发现了解题方法。这种解法不需要太多的预备知识。 现在，我们再利用二进制数的知识，从侧向切入，来解释阿凡提的办法。 因为从1到7的所有正整数都可以用一个不超过三位的二进数来表示，三个数位上的值分别为1，2，4，每个数位上的数字不外乎0与1两种情况。因此，如果我们能把金链分成1环、2环和4环的3节，那么对每一天来说，当我们把当天的天数写成二进数后，数位上的数字是1的，就取走相应的一节，数位上的数字是0时，就不取相应的一节。例如5写成二进数是101，4位上的数字是1，就取走4连环；2位上的数字是0，就不取2连环；个位上的数字是1，即取走单环。这样，对每一天都有方法取得，从而可达到所要求的目的。每天的取法如下表所示： 切开第三环，恰好可以把整条金链分成1环、2环和4环的三节。 通过以上的横向扫描和侧面切入，我们给出了问题的两种解法，但是两个方法都没有触及问题的要害。例如，我们只要将原来的问题稍加推广。 如果允许切开两环，要保证每天可以恰好取走一环，金链最长可以是多少环呢？允许切开三环呢？一般地，允许切开n环又如何呢？ 对于推广后的问题，上述两种解法都无能为力。因为金链的环数不知道，当然不宜使用穷举证法；同样，由于取环的天数不知道，用二进制也无法确定。为了解决推广后的问题，让我们仍旧回到原来的问题，寻求更一般的规律： 其实，道理也很简单。阿凡提只能切开一环，除这一个单环，最多能把这条金链再分成两节。第一天阿凡提只能拿走那个断开了的单环。第二天怎么办呢？不外乎两种可能。 一种是第二天还有一个单环，这样一来，两节中有一节是单环，另一节就只能是一个5连环，第三天，便再也没有办法取走一环了。所以，如果出现这种情况是不行的。 另一种是第二天有一个2连环，阿凡提可拿第一天取走的单环换取这个2连环。两节中有一节是2连环，另一节就只能是4连环了。为了使两节一个是2连环，一个是4连环，唯一的可能就只有在第三环切开。 现在来讨论允许切开n个环的情形。“依约前山似故山”，我们可以把上面关于原问题的分析类比地推广。 把一条金链切开n个环后，除了切开处的n个环是单环外，剩下的最多分成了n+1节。 很明显，第一天，第二天，……一直到第n天，都可以用n个单环来对付。到了第n+1天情况就不同了。可能有两种情况： 一种是其余的各节中最短的一节都多于n+1环，则第n+1天无法再取走一环，这样就达不到要求的目的。 另一种是其余各节中最短的一节不多于n+1环，那末第n+ 1天只要从前面取走的n个单环中退回若干个(即比这最短的一节少一个)再把这一节取走即可。为了使金链最长，这一节可以有n+1个环。 接下去的n天，即从第n+2到第2n+1天，又可用n个单环对付，到第2n+2天，可使其余各节中第二个最短的节有2n+2= 2(n+1)环，则第2n+2天，可将原取走的2n+1个环退回，换取这有2(n+1)环的一节。接下去的2n+1天，即从第2(n+1)+1天到2(n+1)+2n+1天，都可以用退回的2n+1

就这样可以获得一环，两环，四环，

第一天，拿走一环

第二天，把第一天的一环还掉，换两环的

第三天，再拿一环

第四天，把手里的一环，两环全还掉，拿四环

第五天，再拿一环

第六天，把一环还掉，换拿两环的

第七天，拿走一环，就这样了。

把第三个环切开，第一天把切开的那个环拿走，剩下的是一组2个环和一组4个环。第二天把第一天拿走的环放回去，然后拿走两个环的那组第三天再把那个切开的环拿走第四天把已经拿走的3个环放回去，拿走4个环的那组第五天再拿走切开的那环第六天把切开的环放回去，再拿两个环的那组第七天拿走切开的环THE END