向量组与它的任意一个极大无关组

向量组与它的任意一个极大无关组

证: 设a1,a2,...,ar 是向量组中r个线性无关的向量
则对原向量组中任一向量b,
b必能由 a1,a2,...,ar 线性表示.
否则 a1,a2,...,ar,b 线性无关, 与原向量组秩为r矛盾
所以根据极大无关组的定义, a1,a2,...,ar 是一个极大无关组.
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设s为t的一个极大无关组。因为s为t的一个子集，所以对于任意一个α∈s，α也是t中的向量，且有α=1×α，这说明了s可以用t线性表出。 反之，由极大无关组的定义知，t可用s线性表出。因而t与s等价。 由向量组等价的对称性和传递性，即可证得向量组t的任意两个极大无关组都等价：设s1与s2同为t的极大无关组，则由s1与t等价、t与s2等价，得到s1和s2等价。 所以，证得向量组t与它的任意一个极大无关组等价，因而t的任意两个极大无关等价。