必修一函数数学

已知f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数，它在区间[0,1]上单调递减，且f(1-a)+f(1-a^2)<0求实数a的取值范围。

详解，想懂。

因f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数    所以-1<1-a<1    (1)    -1< 1-a^2<1    (2)

且f(1-a)=-f(a-1）

f(1-a)+f(1-a^2)<0   可化为f(1-a^2)<f(a-1）

又它在区间[0,1]上单调递减，    所以它在区间[-1,1]上单调递减

所以1-a^2>a-1    (3)

解 (1)  (2)  (3)   得    0<x<1

注意：

又它在区间[0,1]上单调递减， 所以它在区间[-1,1]上单调递减    这一结论只有能取到0才可用

(1) 令x=y=1,有f(1×1)=f(1)﹢f(1)，∴f(1)=0. 令x=y=-1,有f(-1×-1)=f(-1)﹢f(-1),∴2f(-1)=f(1)=0.(2).令y=x,有f(x×x)=f(x)+f(x)=2f(x), f(-x×-x)==f(x×x)=2f(-x), ∴有f(x)=f(-x)(3).由（2）得，f(x)为偶函数。偶函数在y轴两侧单调性相反，∴﹙-∞，0﹚单调递减，﹙0，+∞﹚单调递增。∴①f(2)+f(x-1/2)=f(2x-1)≤0即①当2x-1＞0时，f(2x-1)≤f(1) ，有2x-1＜1,解得1/2＜x<1。②当2x-1<0时,f(2x-1)≤f(-1),有2x-1＞-1,解得0＜x＜1/2.综合②②得，﹙0,1/2﹚∪﹙1/2,1﹚

f(1-a)+f(1-a^2)<0 切为奇函数

∴f(1-a)<-f(1-a^2)=f(a^2-1)

∵递减

∴-1<1-a<1

且-1<1-a²<1

且1-a>a²-1

解得0<a<根号下2

（0,1）