如何证明n维向量空间中任意两个由n个线性无关的向量构成的向量组都是等价的？

答案:2 悬赏:70 手机版

解决时间 2021-03-14 22:36

提问者网友：沉默的哀伤
2021-03-14 03:30

我知道思路应该是它们都与n维基本向量等价，然后由等价的传递性即可得证。但是怎么证明n维基本向量可以由这n个线性无关的向量表出呢？

最佳答案

五星知识达人网友：一叶十三刺
2021-03-14 03:39

由于 n+1 个n维向量必线性相关
所以n个线性无关的n维向量可以表示任一n维向量, 故可表示n维基本向量组

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1楼网友：纵马山川剑自提
2021-03-14 04:17

因为rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出,故它是rn的一组基. 下面证明这一事实, 设x是rn中的任意一向量,a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量,由rn中任意n+1个向量必然线性相关,故x,a1,a2,...,an线性相关,即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得 bx+k1a1+k2a2+...knan=0, b不为零,否则k1a1+k2a2+...+knan=0,与a1,a2,...,an是n个线性无关矛盾,故 x=（-k1a1-k2a2-...-knan/b,

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