一道数学竞赛题(初二)

一道数学竞赛题(初二)
平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则连接:1.在同一组的任意两点间都没有线段连接;2.不在同一组的任意两点间一定有线段连接.
(1)若平面上恰好有九个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?
(2)若平面上恰好有九个点,且点数分成二,三,四组,那么平面上有多少条线段?
(3)若平面上共有192条线段,那么平面上至少有几个点?

（1）设分成的三组为A组、B组、C组,九个点平均分成三组,那么A组、B组、C组内都含有三个点,组与组的组合共有三种:A与B,B与C,C与A.每对组合都可以连成3*3=9条线段,所以此时平面上共有3*9=27条线段.（A与B、B与A这种交换顺序的组合对所连成的线段每有任何不同）
（2）假设A组、B组、C组的点数分别是2、3、4（只是为了陈述的方便,其实至于哪个组对应什么点数对答案没有任何影响）.那么A与B、B与C、C与A的组合分别可以连成的线段数为2*3、3*4、4*2,所以此时平面上有2*3+3*4+4*2=6+12+8=26条线段.
（3）平面上至少有24个点.
下面是我对这个问题的证明：
一、为了更简易的理解这个问题,首先我们来证明一个简单的命题：将上面的问题中的点数改成8个点,分成的组数改成两组,证明只有当两组的点数相等时,连成的线段数最多.
设分成的这两组的点数为a、b,那么a+b=8,由这两组的点连成的线段条数为a*b(简称ab),因为(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0
即a^2+b^2≥2ab(a^2 表示a的平方）
并且只有当a-b=0即a=b时,上面的不等式中的等号才成立.
因为a^2+b^2≥2ab,所以ab≤（a^2+b^2）/2
所以ab的最大值为（a^2+b^2）/2
并且只有当a=b时,ab达到这个最大值（a^2+b^2）/2
也就是在这个问题中要只有当a=b=4时,连成的线段条数ab有最大值（4^2+4^2）/2=16(或者就是4*4=16).
二、下面就来证明本题的结论.
首先我们来证明这样一个命题：当a=b=c时,ab+bc+ca达到最大值a^2+b^2+c^2
因为a^2+b^2≥2ab①
同理b^2+c^2≥2bc②
c^2+a^2≥2ca③
①+②+③得到a^2+b^2 +b^2+c^2+ c^2+a^2≥2ab+2bc+2ca,并且要此不等式的等号成立必须在①②③的等号全部成立,而①②③的等号全部成立就必须a=b,b=c,c=a.
即2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca
即a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
即ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2,并且只有当a=b,b=c,c=a时,该不等式的等号才成立.也就是只有当a=b,b=c,c=a时,ab+bc+ca才达到最大值a^2+b^2+c^2.
现在假设有24个点,分成三组,三组的点数依次为a、b、c,连成的线段条数就为ab+bc+ca,根据以上证明,只有当a=b=c=8时,连成的线段条数达到最大值a^2+b^2+c^2＝8^2+8^2+8^2＝192.所以当平面上有24点时,连成的线段条数的最大值为192,也就是说如果平面如果平面上的点数如果低于24的话,那么连成的线段条数也就肯定小于192.所以得到本题的结论是平面的点数至少为24.