求证：1/x+1/ln(1-x)<1
答案:1 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-03-09 23:47
- 提问者网友：精神病院里
- 2021-03-09 07:24
求证：1/x+1/ln(1-x)<1
最佳答案
- 五星知识达人网友：旧脸谱
- 2021-03-09 07:53
令y=ln(1-x),则y<0
x=1-e^y
那么1/x+1/ln(1-x)=1/(1-e^y)+1/y
=(y+1-e^y)/(y*(1-e^y))
令函数f(y)=y+1-e^y-y*(1-e^y)=1+y*e^y-e^y
f'(y)=e^y+y*e^y-e^y
=y*e^y<0
所以f(y)在y<0上是单调减函数，f(y)>f(0)=0
所以y+1-e^y-y*(1-e^y)>0
两边同时除以y*(1-e^y)
而y*(1-e^y)<0
所以
(y+1-e^y)/(y*(1-e^y))-1<0
即有1/x+1/ln(1-x)<1
x=1-e^y
那么1/x+1/ln(1-x)=1/(1-e^y)+1/y
=(y+1-e^y)/(y*(1-e^y))
令函数f(y)=y+1-e^y-y*(1-e^y)=1+y*e^y-e^y
f'(y)=e^y+y*e^y-e^y
=y*e^y<0
所以f(y)在y<0上是单调减函数，f(y)>f(0)=0
所以y+1-e^y-y*(1-e^y)>0
两边同时除以y*(1-e^y)
而y*(1-e^y)<0
所以
(y+1-e^y)/(y*(1-e^y))-1<0
即有1/x+1/ln(1-x)<1
我要举报
如以上问答信息为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！
大家都在看
推荐资讯