f(x)=e^(-x^2) 如何用泰勒展开公式？（针对x=0展开）

f(x)=e^(-x^2) 如何用泰勒展开公式？（针对x=0展开）

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^(n+1)/(n+1)!+o(x^(n+1))
e^(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+...+(-1)^(n)x^(2n+2)/(n+1)!+o(x^(2n+3))

这种展开没什么好说的，老老实实按照定义计算。我下面在x=0处展开（在不同展开点的展开式是不一样的） f(0)=1， f'(0) = 2exp(2x)cos(x) - exp(2x)sin(x)| x=0 = 2， f''(0) = 4exp(2x)cos(x) - 2exp(2x)sin(x) - 2exp(2x)sin(x) - exp(2x)cos(x) | x=0 = 3， f'''(0) = [ 3exp(2x)cos(x) - 4exp(2x)sin(x) ]' | x=0 = 6exp(2x)cos(x) - 3exp(2x)sin(x) - 8exp(2x)sin(x) - 4exp(2x)cos(x) | x=0 = 2; f''''(0) = [ 2exp(2x)cos(x) - 11exp(2x)sin(x) ]' | x=0 = 4exp(2x)cos(x) - 2exp(2x)sin(x) - 11exp(2x)cos(x) - 22exp(2x)sin(x) | x=0 = -7，所以 f(x) = 1 + 2x + 3x^2/2 + x^3/3 - 7x^4/24 + o(x^4)。 另一种方法是用多项式乘积的办法。首先有（这两个一定要分别展开到四次，否则答案就是错的）： exp(2x) = 1 + 2x + (2x)^2/2 + (2x)^3/6 + (2x)^4/24 + o(x^4)， cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)， 然后看二者的乘积，分别找出x 的一次项，二次项。。。四次项： 常数项：1； 一次项：2； 二次项：-1/2 + 2 = 3/2； 三次项：-1 + 8/6 = 1/3； 四次项：1/24 - 1 + 16/24 = -7/24， 这样展开式和上面的一样。两种方法都是可以的。 后面高阶的项o(x^4)你不用担心，你就把o(x^4)想成x^5项的话，那么两个乘起来进行交叉乘积运算，不可能再出现x的四次项了。而展开后你会发现后面的都是x^5, x^6项等等，但这里我们只关心到四阶，所以这些东西统统都归并到o(x^4)。要知道高阶无穷小有个性质，那就是x^no(x^m) = o(x^(m+n))，o(x^n)o(x^m) = o(x^(m+n))。