高等数学，连续/可积/有界/三者的关系

高等数学，连续/可积/有界/三者的关系

首先一下几点都是对一元函数所说的,对多元函数不一定成立：
1,连续和可导有非常明确的关系,即可导一定连续,但连续不一定可导,例如y=|x|在x=0处连续,但该点处的左右导数不相等,故不可导.关于可导一定连续,严格证明教材上都有,这里只给一个形象的解释,函数f(x)在x0处的导数f‘(x0)定义为x趋于x0时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0),这个极限表达式中,分母已经是趋于0的了,如果极限值存在,分子也必须趋于0（否则极限为∞）,从而形成极限的0/0型未定式,而这就保证了limf(x)=f(x0),也就是f(x)在x0处连续.另外以上两条的逆否命题是“不连续一定不可导”,“不可导不一定不连续”,也是很有用的.
2,关于有界和连续,对于一般的情况,有界不一定连续（例如狄利克雷函数D(x)）,连续也不一定有界（例如y=x）.有界和连续只在特殊的情况下有联系,例如对点而言,函数在某点连续则在该点的某个邻域内一定有界,这是由于在某点连续的函数在该点极限一定存在,而函数极限具有局部有界性,注意我们只能断言这样的邻域一定存在,但是邻域的范围一般是不能事先断言的.对于区间而言,在闭区间上连续的函数一定有界,而对于开区间或无穷区间,都不一定成立,例如f(x)=1/x在(0,1)上连续但无界.
3,有界和可导之间一般来说没有什么关系,有界不一定可导,可导也不一定有界.
4,注意着三个概念的定义方式,连续和可导都是“逐点”定义的,即先定义在某点处函数的连续与可导,再推广到区间,推广的方式是非常自然的,即如果在区间内每一点处函数都连续或可导,则说函数在这个区间上连续或可导.连续和可导本质上是“局部”性质的概念,而有界不同,它没有“点定义”,说函数在某点处有界是没有意义的,有界性是定义在区间上的,所以本质上是“整体”性质的概念.
5,从上面的讨论可以看出,对于闭区间来说,可导一定连续,连续一定有界,即这三个概念的强弱程度为：可导>连续>有界.

和我的回答一样，看来我也对了