一个高一新生数学作业

实数a、b、c都不等于0，且满足1/a+1/b+1/c=1/a+b+c.请说明:a、b、c中至少有两个互为相反数

1/a+1/b+1/c=1/a+b+c.

(ab+ac+bc)/abc=1/a+b+c.

(ab+ac+bc)(a+b+c)=abc

(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=0

[a(b+c)+bc][a+(b+c)]-abc=0

a(b+c)a+a(b+c)^2+bc(b+c)=0

[a^2+a(b+c)+bc](b+c)=0

(a+b)(b+c)(a+c)=0

a+b=0或b+c=0或a+c=0

a、b、c中至少有对互为相反数

由1/a+1/b+1/c=1/a+b+c.移项

1/a+1/b=1/(a+b+c)-1/c

即 （a+b)/ab=-(a+b)/c(a+b+c)  

如果a+b=0命题得证 此时 a和b 是相反数

如果a+b 不等于0

那么 由上式得：   ab=-c(a+b+c)=-ac-bc-c^2

即 ab+ac+bc+c^2=0

a(b+c)+c(b+c)=0

(a+c)(b+c)=0

于是 a+c=0或者b+c=0

由此可得 命题成立

即

1/a+1/b+1/c=1/a+b+c

1/b+1/c=b+c

(b+c)/bc=b+c

bc=1

由相反数定义可知b，c必为相反数，a不确定，所以至少有两个互为相反数

用反证法证明！