求解 （高悬赏） ∫e^x cos 3x dx = 1/3 ∫e^x d(sin3x)

求解 （高悬赏） ∫e^x cos 3x dx = 1/3 ∫e^x d(sin3x)

做两次分部积分即可
I=∫(e^x) cos 3x dx=1/3 ∫(e^x) d(sin3x)=(1/3) (e^x)sin3x-(1/3)∫ sin3xd(e^x)
=(1/3)(e^x)sin3x-(1/3)∫ (e^x)sin3xdx=(1/3)(e^x)sin3x+(1/9)∫ (e^x)dcos3x
=(1/3)(e^x)sin3x+(1/9)(e^x)cos3x-(1/9)∫ cos3xd (e^x)
=(1/3)(e^x)sin3x+(1/9)(e^x)cos3x-(1/9)∫ (e^x)cos3xd x
=(1/3)(e^x)sin3x+(1/9)(e^x)cos3x-(1/9)I
I=(3/10)(e^x)sin3x+(1/10)(e^x)cos3x+C
=[3sin3x+cos3x](e^x)/10+C

或者使用复数积分
∫e^x cos 3x dx=Re(∫e^x e^(3IX) dx)=Re(∫e^(x(1+3I)) dx)
=Re(e^(x(1+3I))/ (1+3I)+C )=Re((1-3I)e^(x(1+3I))/10+C )
=[cos3x+3sin3x](e^x)/10+C

不会

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