高斯公式的正负号

高斯公式的正负号

对于第二类曲面积分：

积分曲面需要同时向三个坐标平面 xOy,xOz,yOz投影,面积元素dS（方向是dS的法向，有两个方向）与三个坐标平面的夹角分别为α，β，γ，则有

而α，β，γ的余弦是可以通过法向量的数量积求得的，所以可以写成：

在向各个坐标平面投影的时候需要注意dS的有向性，即夹角的大小，在夹角大于π/2的时候，其余弦值是负的。
换句换说，正负是由dS法向量的分量与坐标轴的夹角大小决定的，而这个方向是由dS的方向（法向向量）决定的。

高斯公式   

公式中∂Ω的正侧为外侧cosα，cosβ，cosγ为∂Ω的外法向量的方向余弦。
利用高斯公式，求曲面积分，将已知曲面增加一个简单曲面，组成封闭曲面，注意高斯公式的正方向是外侧，体积分减去附加曲面的积分等于要求的曲面积分，如果方向与向外相反，就差一个符号。