（2011?宜兴市模拟）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端

（2011?宜兴市模拟）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球．已知O点到斜面底边的距离sOC=L． （1）试证明小球只要能在光滑斜面上做完整的圆周运动，则在最高点A和最低点B时细线上拉力之差为恒量．（2）若小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，小球运动到A点或B点时细线断裂，若两种情况下小球滑落到斜面底边时到C点的距离相等，则l和L应满足什么关系？

（1）设小球在A、B两点时的速度分别为vA、vB
则由机械能守恒：
1
2 mvB2＝
1
2 mvA2+mg?2lsinθ
在A点：TA+mgsinθ＝m
vA2
l
在B点：TB?mgsinθ＝m
vB2
l
则A、B两点拉力之差TB-TA=6mgsinθ    此为一恒量
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力为零．根据圆周运动规律和牛顿第二定律有   mgsinθ＝m

v 2
A

l ，
解得 vA＝



glsinθ ．
小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有

1
2 m
v 2
A
+mg?2lsinθ＝
1
2 m
v 2
B
，
解得 vB＝



5glsinθ ．                     
小球运动到A点火B点时细线断裂，小球在平行于底边的方向上匀速运动，在垂直于底边的方向上做初速为零的匀加速运动（类平抛运动）．
细线在A点断裂：L+l＝
1
2 a
t 2
A
，sA=vAtA，
细线在B点断裂：L?l＝
1
2 a
t 2
B
，sB=vBtB，
又 sA=sB，联立解得 L＝
3
2 l．            
答：（1）证明过程在上面．
（2）l和L应满足关系是L＝
3
2 l．

（1）小球恰好在斜面上做完整的圆周运动，则得    mgsinθ=m v 2 a l 解得：va= glsinθ （2）在a点：ta+mgsinθ＝m v 2 a l 在b点：tb?mgsinθ＝m v 2 b l 由机械能守恒得   1 2 m v 2 b ＝ 1 2 m v 2 a +mg?2l?sinθ 联立解得 tb-ta=6mgsinθ （3）由（2）可求得 vb＝ 5glsinθ a点断裂，有：l+l＝ 1 2 a t 2 a ，sa=vata b点断裂，有：l?l＝ 1 2 a t 2 b s，b=vbtb 据题sa=sb 联立可求得 l＝ 3 2 l 答： （1）小球通过最高点a时的速度va是 glsinθ ． （2）在最高点a和最低点b时细线上拉力之差是6mgsinθ． （3）小球运动到a点或b点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到c点的距离若相等，则l和l应满足的关系是l＝ 3 2 l．