解关于x的不等式ax²-(a+1)x+1＜0

解关于x的不等式ax²-(a+1)x+1＜0

解答过程如下：
a>1，范围在（1/a,1）；
a=1时，不存在小于0的范围；
0<a<1时，则范围在（1，1/a)；
a<0，则范围在（负无穷，1/a）和（1，正无穷）





扩展资料
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≤,≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

i）当a=0时，原不等式化为-x＋1＜0, ∴x＞1; ii）当a≠0时，方程ax^2-(a+1)x+1=0的实数根为x1=1, x2=1/a; (a)若a<0, 则x1>x2，∴不等式的解集为x<1/a,或x>1; (b)若0<a<1, 则x1＜x2, ∴不等式的解集为1<x<1/a; (c)若a=1, 则x1=x2=1, 原不等式变为(x-1)^2<0, ∴解集为空集; (d)若a>1, 则x1>x2, ∴不等式的解集为1/a<x<1.

解： 1、当a＞0时： ax²-(a+1)x+1＜0 x²-[(a+1)/a]x+1/a＜0 x²-2×[(a+1)/(2a)]x+[(a+1)/(2a)]²-[(a+1)/(2a)]²+1/a＜0 [x-(a+1)/(2a)]²＜[(a+1)/(2a)]²-1/a [x-(a+1)/(2a)]²＜[(a-1)/(2a)]² (1)a≥1时： (a+1)/(2a)-(a-1)/(2a)＜x＜(a+1)/(2a)+(a-1)/(2a) 1/a＜x＜1 (2)a＜1时： [x-(a+1)/(2a)]²＜[(a-1)/(2a)]² 1＜x＜1/a 故所得为： 当a≥1时：x∈(1/a，1) 当0＜a＜1时：x∈(1，1/a) 2、当a＜0时： ax²-(a+1)x+1＜0 x²-[(a+1)/a]x+1/a＞0 同理，有： [x-(a+1)/(2a)]²＞[(a-1)/(2a)]² 因为a＜0， 有：x-(a+1)/(2a)＞(1-a)/(2a) 或：x-(a+1)/(2a)＜-(1-a)/(2a) 解得：x＞1/a，或：x＜1 即：x∈(-∞，1)，或x∈(1/a，∞) 3、当a=0时： ax²-(a+1)x+1＜0 -x+1＜0 x＞1 综上所述，所给不 等式的解为： 1、当a∈[1，∞)时：x∈(1/a，1) 2、当a∈(0，1)时：x∈(1，1/a) 3、当a=0时：x∈(1，∞) 4、当a∈(-∞，0)时：x∈(-∞，1)，或x∈(1/a，∞)