巳知函数f(x)二x十1/x,x属于l1,2),判断函数f(x)的单调性,并加以证明
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解决时间 2021-11-28 05:38
- 提问者网友：美人性情
- 2021-11-27 23:08
巳知函数f(x)二x十1/x,x属于l1,2),判断函数f(x)的单调性,并加以证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：行雁书
- 2021-11-27 23:55
解由f(x)=x+1/x，x属于[1,2)
取x=1，f(1)=2
x=3/2，f(3/2)=3/2+2/3=13/6＞2
故判断f(x)=x+1/x在x属于[1,2)是增函数
证明设x1，x2属于[1,2)，且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+1/x1-1/x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)[1-1/x1x2]
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
由1≤x1＜x2
知x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0
故(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2＜0
故f(x1)-f(x2)＜0
故f(x)=x+1/x在x属于[1,2)是增函数
取x=1，f(1)=2
x=3/2，f(3/2)=3/2+2/3=13/6＞2
故判断f(x)=x+1/x在x属于[1,2)是增函数
证明设x1，x2属于[1,2)，且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+1/x1-1/x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)[1-1/x1x2]
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
由1≤x1＜x2
知x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0
故(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2＜0
故f(x1)-f(x2)＜0
故f(x)=x+1/x在x属于[1,2)是增函数
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