高一数学题（三角函数）
答案:1 悬赏:50 手机版
解决时间 2021-05-04 04:35
- 提问者网友：相思似海深
- 2021-05-03 03:55
已知α、β是锐角，α+β≠π/2，且满足3sinβ=sin(2α+β)，Ⅰ.求证：tan(α+β)=2tanα Ⅱ.0＜tanβ≤√2/4
最佳答案
- 五星知识达人网友：笑迎怀羞
- 2021-05-03 05:09
（1）∵α，β是锐角，α＋β≠ 满足3sinβ＝sin(2α＋β)
∴3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)
∴3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，
∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα
∴tan(α＋β)＝2tanα
(2)∵tan(α＋β)＝ ＝2tanα
∴tanα＋tanβ＝2tanα－2tan2αtanβ
∴2tan2αtanβ－tanα＋tanβ＝0有解，
∴判别式Δ＝(－1)2－4×2tanβtanβ≥0
∴tan2α≤1/8 ∴tanβ＞0
∴0＜tanβ≤√2/4
∴3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)
∴3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，
∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα
∴tan(α＋β)＝2tanα
(2)∵tan(α＋β)＝ ＝2tanα
∴tanα＋tanβ＝2tanα－2tan2αtanβ
∴2tan2αtanβ－tanα＋tanβ＝0有解，
∴判别式Δ＝(－1)2－4×2tanβtanβ≥0
∴tan2α≤1/8 ∴tanβ＞0
∴0＜tanβ≤√2/4
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