共点力的平衡

一吊桥由六对钢杆悬吊着,六对钢杆在桥面分列两排,其上端挂在两根纲缆上,如图为其一截面图,已知图中相邻两钢杆间距离为9m,靠桥面中心的钢杆长度为2m(即AA'=DD'=2m),BB'=EE',CC'=PP',又已知两端钢缆与水平面成45度角.若钢杆自重不计,为使每根钢杆承受的负荷相同,试求每根钢杆的长度应各为多少?

设每根钢杆上的作用力为F，取整体研究，在竖直方向上平衡，有：

2F_csin45°=6F    ①

    对C、B两点，受力分析如下图所示：

  设BC段上的张力为F_BC，AB段上的张力为F_AB，它们与竖直方向的夹角分别为α、β，对C点，竖直方向上受力平衡，有

F_csin45°=F+F_BCcosα    ②

    水平方向上受力平衡，有F_Ccos45°=F_BCsinα     ③

    整理①②③式得cotα=2/3

    选B点研究，同理可得cotβ=1/3,故BB′=EE′=2 m+×9 m=5 m

CC′=PP′=5 m+×9 m=11 m.

答案：5 m,11 m

1. 共点力作用下物体平衡的条件 在共点力作用下物体平衡的条件是：物体所受的合力为零。即 （矢量式）。用正交分解法解决有关在共点力作用下的物体平衡问题时，平衡条件可叙述为：用平衡条件的正交表达形式解题具有三大优点：其一，将矢量运算转变为代数运算，使难度降低。其二，将求合力的复杂的解斜三角形问题，转变为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行。其三，当所求平衡问题中需求两个未知力时，这种表达形式可列出两个方程，使得求解十分方便。 2. 力的平衡作用在物体上所有力的合力为零，这种情形叫做力的平衡。（1）当物体只受两个力作用而平衡时，这两个力大小一定相等，方向一定相反，且作用在同一直线上。这两个力叫做一对平衡力。（2）当物体受到三个力的作用而平衡时，这三个力必在同一平面内，且三个力的作用线或作用线的延长线相交于一点，这就是三力汇交原理。 3. 一对平衡力与一对作用力和反作用力的区别（1）平衡力作用于同一物体上。作用力和反作用力分别作用在两个物体上。（2）作用力与反作用力性质相同。平衡力的性质不一定相同。例如静止在水平桌面上的物体，重力与桌面的支持力是一对平衡力；支持力是弹力，与重力的性质不同。（3）作用力与反作用力同时产生、同时变化、同时消失，平衡力中的某一力变化或消失时，其他力不一定变化或消失。例如抽去桌面时，物体所受的支持力消失，但物体的重力仍然保持不变。（4）平衡力共同作用的效果是使物体平衡，作用力与反作用力对两个物体分别产生效果。 4. 用极限法分析物体平衡的临界问题：临界状态：当物体从某种特性变化到另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态通常叫做临界状态，出现“临界状态”时，既可理解成“恰好出现”也可理解为“恰好不出现”的物理现象。这里指的物体平衡的临界问题是：当某一物理量变化时，会引起其他几个物理量跟着变化，从而使物体所处的平衡状态恰好出现变化或恰好不出现变化。极限分析法作为一种预测和处理临界问题的有效方法，是指：通过恰当地选取某个变化的物理量将其推向极端（“极大”或“极小”、“极右”或“极左”等）。从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。 5. 解决中学物理极值问题和临界问题的方法主要有两类：一类是物理分析方法，就是通过对物理过程的分析，抓住临界（或极值条件）进行求解。例如：两物体脱离的临界条件是相互间的压力为零；另一类是数学解法，该种方法是指，通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系（或画出函数图象），用数学方法（例如求二次函数极值、讨论公式极值、三角函数极值）求解极值。但需注意：利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对解的合理性及物理意义进行讨论或说明。