高中数学分班考试题，求详细解答

方程x²+3x²y²-30y²=517的整数解的组数为

由对称性，先只考虑正整数解：
x^2=(517+30y^2)/(3y^2+1)=10+507/(3y^2+1)
507=3*13*13
3y^2+1=1,3, 13,39, 169,507
3y^2=0, 2,12,28, 168, 506
y^2=0, 2/3, 4, 28/3, 56, 506/3
y=0 or 2
x^2=517, 49---> x=7
因此正整数解只有x=7 , y=2
由对称性，共有四组解：(7,2), (7,-2), (-7.2),(-7,-2)

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共有(7.2).(7.-2).(-7.2).(-7.-2)四组整数解. 首先令m=x2.n=y2.则原式等于m+3mn-30n.可化为m=(30n+517)/1+3n=10+507/(3n+1).若使m.n均为整数（且为平方数）,需使507能被3n+1整除.代入检验得只有n=4(可先求507的因数).所以可得答案.

1组，因为 x²+3x²y²-30y²=517可以分解成 （x²-10）（1+3y²）=507. 有因为507=3*13*13. 所以x²-10=3，1+3y²=13*13（无整数解），或x²-10=3*13，1+3y²=13（解为x=7,y=2)， 或x²-10=1，1+3y²=507（无整数解），或x²-10=507，1+3y²=1（无整数解） , 或x²-10=13*13,1+3y²=3（无整数解）