A为实对称矩阵，求正交矩阵Q，使Q∧-1AQ为对角矩阵 A=1 2 0 -2 2 -2 ; 0 -2 3 A=

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提问者网友：喧嚣尘世
2021-03-05 07:33

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五星知识达人网友：迷人又混蛋
2021-03-05 08:58

|λI-A|
=
λ-2 1 1 -1
1 λ-2 -1 1
1 -1 λ-2 1
-1 1 1 λ-2

= (λ-1)3(λ-5)

= 0
解得λ = 1（三重），5

将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0

-1 1 1 -1
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1

第1行交换第2行
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1

第4行, 减去第1行×-1
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
1 -1 -1 1
0 0 0 0

第3行, 减去第1行×1
1 -1 -1 1
-1 1 1 -1
0 0 0 0
0 0 0 0

第2行, 减去第1行×-1
1 -1 -1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

增行增列，求基础解系
1 -1 -1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1

第1行, 加上第4行×-1
1 -1 -1 0 0 0 -1
0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1

第1行, 加上第3行×1
1 -1 0 0 0 1 -1
0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1

第1行, 加上第2行×1
1 0 0 0 1 1 -1
0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1

得到属于特征值1的特征向量
(1,1,0,0)T
(1,0,1,0)T
(-1,0,0,1)T
将特征值5代入特征方程(λI-A)x=0

3 1 1 -1
1 3 -1 1
1 -1 3 1
-1 1 1 3

第1行交换第2行
1 3 -1 1
3 1 1 -1
1 -1 3 1
-1 1 1 3

第4行, 减去第1行×-1
1 3 -1 1
3 1 1 -1
1 -1 3 1
0 4 0 4

第3行, 减去第1行×1
1 3 -1 1
3 1 1 -1
0 -4 4 0
0 4 0 4

第2行, 减去第1行×3
1 3 -1 1
0 -8 4 -4
0 -4 4 0
0 4 0 4

第4行, 减去第2行×(-12)
1 3 -1 1
0 -8 4 -4
0 -4 4 0
0 0 2 2

第3行, 减去第2行×12
1 3 -1 1
0 -8 4 -4
0 0 2 2
0 0 2 2

第4行, 减去第3行×1
1 3 -1 1
0 -8 4 -4
0 0 2 2
0 0 0 0

第3行, 提取公因子2
1 3 -1 1
0 -8 4 -4
0 0 1 1
0 0 0 0

第2行, 提取公因子-8
1 3 -1 1
0 1 -12 12
0 0 1 1
0 0 0 0

第1行,第2行, 加上第3行×1,12
1 3 0 2
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0

第1行, 加上第2行×-3
1 0 0 -1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0

增行增列，求基础解系
1 0 0 -1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1

第1行,第2行,第3行, 加上第4行×1,-1,-1
1 0 0 0 1
0 1 0 0 -1
0 0 1 0 -1
0 0 0 1 1

得到属于特征值5的特征向量
(1,-1,-1,1)T 得到特征向量矩阵P =

1 1 -1 1
1 0 0 -1
0 1 0 -1
0 0 1 1

并且有P-1AP = Λ = diag(1,1,1,5)
矩阵P施密特正交化

1 1 -1 1
1 0 0 -1
0 1 0 -1
0 0 1 1

第2列，减去第1列的(C2,C1)(C1,C1)=12倍然后第2列乘以2
1 1 -1 1
1 -1 0 -1
0 2 0 -1
0 0 1 1

第3列，分别减去前两列的(C3,Ci)(Ci,Ci)倍其中i=1,2，然后第3列乘以3
1 1 -1 1
1 -1 1 -1
0 2 1 -1
0 0 3 1

单位化，得到正交矩阵Q =
√22 √22 -√22 12
√22 0 0 -12
0 √22 0 -12
0 0 √22 12

并且有Q-1AQ = Λ = diag(1,1,1,5)
所求正交变换是X=QY，Y=QTX，且有
XTAX=(QY)TAQY=YTQTAQY=YTdiag(1,1,1,5)Y
y1=√22x1+√22x2
y2=√22x1+√22x3
y3=-√22x1+√22x4
y4=12x1-12x2-12x3+12x4

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