已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(-1,0)、点B(3,0),与x轴交于点C(0,-3)

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(-1,0)、点B(3,0),与x轴交于点C(0,-3)
（1）求二次函数的解析式
（2）直线y=kx+b经过C点和抛物线顶点M，求一次函数解析式
（3）点N是抛物线对称轴上的一个点，若以点N为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CM相切，求出点N的坐标

由条件可设y=a（x+1)(x-3),当x=0时y=-3a=3,a=-1
y=-(x+1)(x-3)
M（1，4）C（0，-3）两点代入方程易得b=-3,k=7,y=7x-3
设N（1，m）则利用点到直线距离=NA，可求得m

解由二次函数y＝ax＋bx＋c的图像与x轴交于a（1，0），b（3，0） 设二次函数为y=a（x-1）（x-3） 又由与y轴交于c（0，3） 即a（0-1）（0-3）=3 即a=1 故二次函数y=（x-1）（x-3） 即为y=x^2-4x+3 =（x-2）^2-1 故顶点为（2，-1）。