圆与三角形的问题

已知三角形ABC中，角C=90度，BC=12,AO=5,斜边AB切圆O于F。求OC

MN是圆O切线于A，BC为圆O弦，PA垂直MN。PA=2,PB=5,PC=3.求半径

点P为圆外任意一点，M,N分别为弧AB,CD的中点。求证△PEF为等腰三角形

第一题 先证明三角形AOE和三角形ABC是相似三角形 OF/BC=AE/AC 由勾股定理 AE=4 所以AC=16 即OC=13 C点在圆外面

第二题 OA垂直MN AP垂直MN 所以OAP在一条直线上 做OD垂直BC并交BC与E点 所以 BE=CE=4 因为OP=r-2 三角形OEC和OEP都是直角三角形 由勾股定理 三角形OCE中 OD^2=r^2-16 三角形OPE中 OD^2=(r-2）^2-1 两式代入 得r=19/4

第三题 连OM ON 因为MN分别为中点 所以OM垂直AB ON垂直CD 因为OM=ON 所以角OMN=角ONC 所以 角AEM=角CFN 所以 角PEF=角PFE 所以 △PEF为等腰三角形

第一题 ∵斜边AB切圆O于F，角C=90度

∴△ABC∽△AOF

∵OF=3 AO=5

∴AF=4

∴BC/OF=AC/AF

∴AC=16 ∵AC=OC+AO ∴OC=11

1.oc=4

2.半径r=19/4

3.证明：连接圆心和M、N，分别交弦AB,CD的中点，设m、n。

由于M,N分别为弧AB,CD的中点。所以，OM必然垂直AB，ON必然垂直CD

又因为OM=ON(圆的半径)，所以在三角形OMN中两个底角相等

在直角三角形MEm和NFn中，有一个对应角相等，则剩下的那个对应角也相等

即，角MEA=角CFN

由对顶角相等，所以角BEF=角DFE

得证△PEF为等腰三角形