已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β），则|β-α|的取值范围是____

已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β），则|β-α|的取值范围是________．

[3，+∞）解析分析：由于f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；得到x=0是f'（x）=0的根，求出c的值；根据2是f（x）=0的根得到8+4b+d=0，由于在（0，2]上是减函数得到f'（2）≤0求出b≤-3，根据f（x）=0有三根α，2，β；得到f（x）=（x-α）（x-2）（x-β），得到α+β+2=-b，-2αβ=d；得到|β-α|2=（b-2）2-16，求出其范围．解答：∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；∴x=0是f'（x）=0的根，又∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴f'（0）=0，∴c=0．又∵f（x）=0的根为α，2，β，∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f'（2）≤0，∴12+4b≤0，∴b≤-3，∵f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）=x3-（α+β+2）?x2-2αβ∴α+β+2=-b，-2αβ=d；∴|β-α|2=（α+β）2-4αβ=（b+2）2+2d=b2+4b+4-16-8b=b2-4b-12=（b-2）2-16又∵b≤-3，∴|β-α|≥3，当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4故

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